입체도형을 좌표축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 단면적 함수라 하고, $x=a$부터 $x=b$까지의 단면적을 $S(x)$라 하자. 이때 이 입체도형의 부피 $V$는 다음 정적분(定積分, $\int$는 "인테그럴"이라 읽는다)으로 정의된다.
$$V = \int_a^b S(x)\,dx$$
특히 함수 $y=f(x)$의 그래프($a \le x \le b$)를 $x$축을 회전축으로 하여 한 바퀴 돌려 만든 회전체의 경우, $x$에서의 단면은 반지름이 $|f(x)|$인 원이므로 단면적은 $S(x) = \pi \{f(x)\}^2$이고,
$$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$$
직관
부피를 한 번에 구하기 어려운 이유는 입체의 굵기가 위치마다 다르기 때문이다. 이를 아주 얇은 조각(두께 $\Delta x$)으로 잘게 썰면, 조각 하나는 거의 원기둥(또는 각기둥)으로 볼 수 있어 부피가 (단면적)$\times$(두께)로 근사된다. 이 얇은 조각들의 부피를 모두 더한 뒤 조각을 한없이 얇게 만드는 극한을 취하면 리만 합이 정적분으로 바뀐다 — 이는 구분구적법의 아이디어를 3차원으로 확장한 것이다.
음료수 병이나 꽃병처럼 회전 대칭인 용기를 설계할 때, 옆면의 곡선(예: 병목이 좁아지다가 몸통이 볼록해지는 곡선)을 함수 $f(x)$로 표현하면 회전체 부피 공식 $\pi\int f(x)^2\,dx$로 실제 용량을 미리 계산할 수 있다. 제조업의 CAD 설계에서는 곡면의 단면적 함수를 적분해 부품의 부피(따라서 무게, 재료비)를 사전에 산출하는 데 이 원리가 그대로 쓰인다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 회전체 부피를 $\displaystyle\pi\int_a^b f(x)\,dx$로 계산한다. → 왜 틀렸는가: 단면인 원의 넓이는 $\pi r^2$이지 $\pi r$이 아니다. 반지름 $f(x)$를 반드시 제곱해야 하며, 이를 빠뜨리면 넓이와 정적분(넓이 공식)과 부피 공식을 혼동하게 된다.
잘못된 생각: 두 곡선 사이 영역을 회전시킬 때도 바깥 함수만 제곱해서 적분한다. → 왜 틀렸는가: 안쪽에 빈 구멍(구멍 뚫린 도넛 모양의 단면)이 생기므로, 워셔법에서는 반드시 $\pi\int (\{바깥\}^2 - \{안쪽\}^2)\,dx$ 형태로 안쪽 반지름의 제곱을 빼야 한다. 큰 함수의 제곱만 적분하면 실제보다 부피가 크게 나온다.
잘못된 생각: $x$축이 아닌 직선 $y=k$를 회전축으로 할 때도 반지름을 그냥 $f(x)$로 쓴다. → 왜 틀렸는가: 회전축이 $y=k$이면 단면원의 반지름은 곡선과 회전축 사이의 거리인 $|f(x)-k|$이다. 회전축의 위치를 바꾸면 반지름 표현도 함께 바뀌어야 한다.
확인 문제
반지름이 $r$인 구는 원 $x^2+y^2=r^2$의 위쪽 반원 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ ($-r\le x\le r$)을 $x$축 둘레로 회전시킨 회전체로 볼 수 있다. 이를 이용해 정적분으로 구의 부피 공식을 직접 유도하고, 익숙한 공식 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$과 일치하는지 확인하시오.