합성함수의 미분법에 의해 $\dfrac{d}{dx}F(g(x)) = f(g(x))g'(x)$가 성립한다($F' = f$). 이 식은 "복잡해 보이는 $f(g(x))g'(x)$의 부정적분이 사실은 $F(g(x))$라는 간단한 형태로 이미 알려져 있다"는 뜻이다. 치환적분은 이 관계를 눈에 보이는 방식으로 정리한 것뿐이다. 즉 $x$라는 복잡한 변수의 세계를 $u=g(x)$라는 새로운 변수의 세계로 옮기면, 원래는 얽혀 있던 식이 단순한 거듭제곱이나 삼각함수 꼴로 풀리는 경우가 많다. 마치 좌표계를 바꿔서 복잡한 도형을 단순한 모양으로 보이게 만드는 것과 같다.
통계학의 정규분포에서 확률(넓이)을 계산할 때 치환적분이 실제로 쓰인다. 평균 $\mu$, 표준편차 $\sigma$인 정규분포의 확률밀도함수를 적분해서 구간 확률을 구할 때, $z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$로 치환(이를 표준화라 부른다)하면 복잡한 적분이 표준정규분포의 적분으로 단순화된다. 시험 성적 등급 컷, 공장 제품의 불량률 추정 등에서 사용하는 표준점수(z-score)가 바로 이 치환적분의 결과물이다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 정적분을 치환할 때 적분구간은 그대로 $x=a$부터 $x=b$까지 두면 된다.
→ 왜 틀렸는가: 변수를 $t$(또는 $u$)로 바꿨으면 구간도 새로운 변수의 값으로 바꿔야 한다. 예제 2처럼 $x=0,1$을 $u=1,2$로 바꾸지 않고 그대로 $\int_0^1 u^3 du$를 계산하면 값이 완전히 달라진다.
잘못된 생각: $u=g(x)$로 치환할 때 $dx$를 그냥 $du$로 바꿔 쓰면 된다.
→ 왜 틀렸는가: $du=g'(x)\,dx$이므로 $g'(x)$라는 계수가 따라온다. $\int x(x^2+1)^3dx$에서 $u=x^2+1$이면 $du=2x\,dx$, 즉 $x\,dx=\frac{1}{2}du$인데 이 $\frac12$을 빠뜨리는 실수가 잦다.
잘못된 생각: 부정적분에서 $u$로 계산한 결과 $\frac{u^4}{4}+C$를 그대로 답으로 쓴다.
→ 왜 틀렸는가: 부정적분의 답은 원래 변수 $x$에 대한 함수여야 하므로 반드시 $u=g(x)$를 다시 대입해 $x$의 식으로 되돌려야 한다(정적분은 수치로 끝나므로 이 과정이 필요 없다).
확인 문제
$\displaystyle\int 3x^2(x^3+2)^4\,dx$를 구하라.
$\displaystyle\int_0^2 x\sqrt{x^2+1}\,dx$의 값을 구하라. (치환 후 적분구간을 바꾸는 것에 유의)
$F'(t)=f(t)$일 때 $y=F(g(x))$를 $x$에 대해 미분한 결과를 합성함수의 미분법(연쇄법칙)으로 써 보고, 이 결과가 왜 $\int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x))+C$를 뜻하는지 설명하라.
정답 보기
$u=x^3+2$, $du=3x^2dx$이므로 $\int u^4 du = \frac{u^5}{5}+C = \frac{(x^3+2)^5}{5}+C$
연쇄법칙에 의해 $\dfrac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))g'(x)$이다. 이는 $f(g(x))g'(x)$를 미분하면 $F(g(x))$가 되는 함수가 존재한다는 뜻이므로, $F(g(x))$가 바로 $f(g(x))g'(x)$의 한 부정적분이 된다. 즉 치환적분은 새로운 공식이 아니라 연쇄법칙을 반대 방향으로 읽은 것이다.