닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다.
$[a, b]$에서 $f(x) \geq 0$이면, 곡선 $y=f(x)$와 $x$축, 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $$S = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$ ($\int_a^b f(x)\,dx$는 "에이부터 비까지 에프엑스디엑스의 인테그럴"이라 읽으며, $f$의 부정적분 $F$에 대해 $F(b)-F(a)$로 계산한다.)
$[a, b]$에서 $f(x) \leq 0$이면, 넓이는 $$S = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx$$
두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$가 $[a,b]$에서 만나고 이 구간에서 $f(x) \geq g(x)$이면, 두 곡선 사이의 넓이는 $$S = \int_{a}^{b} \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx$$
정적분은 잘게 자른 직사각형의 넓이를 모두 더한 것의 극한(구분구적법)이므로, $f(x)\geq0$인 범위에서는 정적분의 값이 곧 넓이가 된다. 하지만 $x$축 아래쪽(음수 영역)에서는 직사각형의 높이가 음수로 취급되어 정적분 값도 음수가 나온다. 즉 **정적분 값은 "부호가 있는 넓이"**이고, 우리가 실제로 원하는 넓이는 항상 0 이상이어야 하므로, 음수인 부분은 절댓값을 취해 뒤집어 더해 주어야 한다.
예시 1. $y=x^2-1$은 $[-1,1]$에서 $y \leq 0$이다. 넓이는 $$S = -\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,dx = -\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_{-1}^{1} = -\left(\left(\frac13-1\right)-\left(-\frac13+1\right)\right) = \frac{4}{3}$$
예시 2. 두 곡선 $y=x^2$과 $y=x+2$로 둘러싸인 부분의 넓이. $x^2=x+2$에서 $(x-2)(x+1)=0$이므로 교점은 $x=-1, 2$. 이 구간에서 $x+2 \geq x^2$이므로 $$S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^2\bigr)dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}$$
경제학에서 수요곡선(가격에 따라 사람들이 사고 싶어 하는 양을 나타낸 그래프) 아래의 넓이는 소비자가 실제로 지불한 금액과 최대로 지불할 의사가 있던 금액의 차이(소비자 잉여)를 나타낸다. 수요함수를 $p=f(q)$라 하면, 균형가격 $p_0$ 위쪽·수요곡선 아래쪽 영역의 넓이를 정적분으로 계산해 이 잉여를 구한다.
잘못된 생각: 넓이를 구할 때 그냥 $\int_a^b f(x)\,dx$만 계산하면 된다. 왜 틀렸는지: $f(x)=x$를 $[-2,2]$에서 그대로 적분하면 $\int_{-2}^{2} x\,dx = 0$이 나오지만, 실제 넓이는 $0$이 아니다. 그래프가 $x$축 아래로 내려가는 구간에서는 음수 값이 양수 값을 상쇄하기 때문에, 부호가 바뀌는 지점을 찾아 구간을 나누고 절댓값을 취해야 한다.
잘못된 생각: 두 곡선 사이의 넓이는 항상 $\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$로 계산하면 된다. 왜 틀렸는지: 이 공식은 구간 전체에서 $f(x)\geq g(x)$일 때만 성립한다. 두 곡선의 교점을 정확히 구하지 않거나, 어느 함수가 위쪽인지 확인하지 않고 순서를 뒤집으면 넓이가 음수로 나오거나 값이 틀리게 된다.
잘못된 생각: 정적분 값과 넓이는 같은 개념이다. 왜 틀렸는지: 정적분은 $x$축 위·아래를 구분해 값이 상쇄될 수 있는 "부호가 있는 양"이고, 넓이는 도형의 크기를 나타내는 "항상 0 이상인 양"이다. 두 개념을 같다고 여기면 곡선이 $x$축을 넘나드는 문제에서 오답이 나온다.