# 정적분

분야: 해석
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84

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Editor 도구 없이 대화 본문에 문서 전체를 그대로 출력하는 작업이라, 별도 파일 조작 없이 바로 결과를 작성한다.

<!-- prereq: 구분구적법, 부정적분, 함수의 연속 -->

## 정의

닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$가 있다고 하자. 구간 $[a,b]$를 $n$등분하여 각 소구간의 길이를 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$이라 하고, $k$번째 소구간에서 임의로 택한 점을 $x_k$라 하면, 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x$($\sum$는 시그마라 읽고, 여러 항의 합을 나타내는 기호다)는 $n \to \infty$일 때 일정한 값에 가까워지며, 이 값은 소구간을 나누는 방법이나 $x_k$를 택하는 방법과 관계없이 항상 같다. 이 극한값을 $f(x)$의 $a$에서 $b$까지의 **정적분**이라 하고

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$$

로 나타낸다.($\int$는 인테그럴이라 읽는다) 이때 $a$를 아래끝, $b$를 위끝이라 한다.

미적분의 기본정리에 의해, $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면

$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$$

가 성립한다. 그래서 실제 계산에서는 극한을 직접 구하지 않고 부정적분을 이용한다.

## 직관

정적분은 구분구적법에서 배운 "잘게 나누어 더한 뒤 극한을 취한다"는 생각을 함수 전체에 적용한 것이다. 그래프 $y=f(x)$와 $x$축, 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 영역을 아주 얇은 직사각형 $n$개로 잘라 넓이를 더하면 근사값을 얻고, $n$을 한없이 크게 하면 이 근사값이 실제 값에 가까워진다. 다만 정적분은 단순한 넓이가 아니라 "부호가 있는 넓이"다. $f(x)$가 $x$축 위에 있으면 그 부분은 양수로, 아래에 있으면 음수로 계산되어 서로 상쇄될 수 있다.

## 유도

구분구적법에서 넓이를 구할 때는 매번 $n$등분한 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$의 극한을 직접 계산했다. 이 극한 자체가 정적분의 정의이지만, $f(x)=x^2$처럼 조금만 복잡한 함수라도 이 극한을 매번 손으로 계산하는 것은 매우 번거롭다. 이 번거로움을 피하려면, 극한을 직접 계산하지 않고도 정적분의 값을 구하는 방법을 찾아야 한다.

이를 위해 아래끝 $a$를 고정하고, 위끝을 변수 $x$로 바꾼 새로운 함수를 만들어 보자.

$$S(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad (a \le x \le b)$$

$S(x)$는 구간 $[a,x]$에서 $f$와 $x$축 사이의 (부호 있는) 넓이를 나타내는 함수다. 이 함수 $S(x)$를 미분하면 어떻게 될까? 도함수의 정의에 따라

$$S'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{S(x+h)-S(x)}{h}$$

인데, 정적분의 성질(구간의 덧셈)에 의해

$$S(x+h)-S(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^{x}f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$$

이다. $f$가 함수의 연속이므로 $h$가 아주 작을 때 구간 $[x,x+h]$에서 $f(t)$는 거의 $f(x)$와 같은 값을 가지므로, $\displaystyle\int_x^{x+h} f(t)\,dt \approx f(x)\cdot h$로 근사할 수 있다(폭 $h$, 높이 $f(x)$인 직사각형 넓이). 따라서

$$\frac{S(x+h)-S(x)}{h} \approx f(x)$$

이고, $h\to0$일 때 이 근사는 등식이 되어 $S'(x) = f(x)$를 얻는다.

이는 $S(x)$가 $f(x)$의 한 부정적분이라는 뜻이다. $f(x)$의 임의의 부정적분을 $F(x)$라 하면, 부정적분끼리는 상수 차이만 나므로

$$S(x) = F(x) + C$$

인 상수 $C$가 존재한다. 그런데 $x=a$를 대입하면 $S(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,dt = 0$(같은 점에서 시작해 같은 점에서 끝나는 구간의 넓이는 0)이므로

$$0 = F(a) + C \implies C = -F(a)$$

이다. 따라서 $S(x) = F(x) - F(a)$이고, 여기에 $x=b$를 대입하면

$$\int_a^b f(x)\,dx = S(b) = F(b) - F(a)$$

를 얻는다. 이것이 정적분을 극한 대신 부정적분으로 계산할 수 있게 해주는 미적분의 기본정리다.

## 성질

- $\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$ ($k$는 상수)
- $\int_a^b \{f(x)+g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$
- $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$, $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
- $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ ($a, b, c$의 순서와 관계없이 성립)

## 예시

**예시 1.** $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx = \big[x^2+x\big]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10$

**예시 2.** $\displaystyle\int_{-1}^{2} x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 3$

**예시 3 (부호가 있는 값).** $\displaystyle\int_{-2}^{1} x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1} = \dfrac12 - 2 = -\dfrac32$

세 번째 예시는 구간 $[-2,0]$에서 $x<0$인 부분이 $[0,1]$에서 $x>0$인 부분보다 넓어서 전체 값이 음수가 된 경우다. 아래 그래프에서 $y=x$가 구간의 왼쪽 대부분에서 음수임을 확인할 수 있다.


그래프: y=x (정의역 -3~3)


## 🌍 실생활 예시

물체의 속도 $v(t)$를 시간에 대해 정적분하면 이동 거리를 구할 수 있다. 예를 들어 어떤 자동차의 속도가 $v(t)=4t$(m/s)라면, $t=0$부터 $t=3$까지 이동한 거리는 $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt = \big[2t^2\big]_0^3 = 18$(m)이다. 이렇게 순간마다 달라지는 속도로부터 누적된 총 이동 거리를 구하는 데 정적분이 쓰인다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 정적분 값은 항상 넓이이므로 양수다. → **왜 틀렸는지**: $f(x)<0$인 구간에서는 정적분 값이 음수로 계산된다. 실제 넓이를 구하려면 구간을 나누어 각 부분에 절댓값을 취해 더해야 한다.
- **잘못된 생각**: 정적분을 계산한 뒤에도 부정적분처럼 적분상수 $C$를 붙여야 한다. → **왜 틀렸는지**: 정적분은 $F(b)-F(a)$처럼 두 값의 차이이므로 $C$가 있어도 $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$로 상쇄되어 사라진다. 정적분의 답은 하나의 확정된 실수다.
- **잘못된 생각**: $\int_a^b f(x)\,dx$를 계산할 때 $F(a)-F(b)$로 빼도 상관없다. → **왜 틀렸는지**: 위끝 값에서 아래끝 값을 빼는 순서($F(b)-F(a)$)가 정해져 있으며, 순서를 바꾸면 부호가 반대로 나온다.

## 확인 문제

1. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$의 값을 구하시오.
2. $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$이 되는 이유를, $y=x^3$ 그래프의 모양(원점에 대한 대칭)과 관련지어 설명하시오.
3. 어떤 물체의 속도가 $v(t)=4t$(m/s)일 때, $t=0$부터 $t=3$까지 이 물체가 이동한 거리를 정적분으로 구하시오.

정답 보기:

1. $\big[x^2+x\big]_1^3 = 12-2 = 10$
2. $y=x^3$는 원점에 대해 대칭인 함수이므로 구간 $[-1,0]$에서 그래프는 $x$축 아래에 있고, 구간 $[0,1]$에서는 크기가 같은 모양으로 $x$축 위에 있다. 두 부분의 정적분 값이 절댓값은 같고 부호는 반대이므로 더하면 $0$이 된다. (실제로 $F(x)=\dfrac{x^4}{4}$이므로 $F(1)-F(-1)=\dfrac14-\dfrac14=0$)
3. $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt = \big[2t^2\big]_0^3 = 18$(m)



## 📜 역사

고대 그리스의 아르키메데스는 포물선이나 원처럼 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 "잘게 나눈 도형을 채워 넣는" 방법(취진법)으로 계산했지만, 이 방법은 도형마다 새로운 아이디어가 필요해서 일반적인 공식으로 정리되지 못했다. 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠는 각자 독립적으로, 넓이(정적분)를 구하는 문제가 변화율(미분)을 거꾸로 되짚는 문제와 정확히 반대라는 사실을 발견했다 — 이것이 오늘날의 미적분의 기본정리다. 이 발견 덕분에 매번 넓이의 극한을 직접 계산하지 않고도 부정적분을 이용해 정적분을 계산할 수 있게 되었다. 적분 기호 $\int$는 라이프니츠가 "합"을 뜻하는 라틴어 summa의 첫 글자 S를 길게 늘여 쓴 것에서 비롯되었다. 이후 19세기에 독일의 수학자 베른하르트 리만이 이 문서의 정의에 쓰인 것과 같이 구간을 나누어 합을 만들고 극한을 취하는 방식으로 정적분을 엄밀하게 정의하면서, 오늘날 사용하는 형태로 다듬어졌다.

## 관련 개념

- 구분구적법: 정적분을 정의하는 극한 과정의 바탕이 되는 개념
- 부정적분: 정적분 계산에 쓰이는 미적분의 기본정리를 연결하는 개념
- 넓이와 정적분: 정적분을 이용해 실제 도형의 넓이를 구하는 방법
- 부피와 정적분: 정적분을 입체도형의 부피 계산으로 확장한 개념
- 치환적분, 부분적분: 복잡한 함수의 정적분을 계산하는 기법

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관련 개념:
- 부정적분 (/wiki/math/%EB%B6%80%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)
- 구분구적법 (/wiki/math/%EA%B5%AC%EB%B6%84%EA%B5%AC%EC%A0%81%EB%B2%95)
- 도함수 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98)
- 함수의 연속 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%97%B0%EC%86%8D)
- 속도와 가속도 (/wiki/math/%EC%86%8D%EB%8F%84%EC%99%80_%EA%B0%80%EC%86%8D%EB%8F%84)
- 넓이와 정적분 (/wiki/math/%EB%84%93%EC%9D%B4%EC%99%80_%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)
- 부피와 정적분 (/wiki/math/%EB%B6%80%ED%94%BC%EC%99%80_%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)
- 치환적분 (/wiki/math/%EC%B9%98%ED%99%98%EC%A0%81%EB%B6%84)
- 부분적분 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%B6%84%EC%A0%81%EB%B6%84)