부정적분

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정의

함수 $f(x)$에 대하여 $F'(x) = f(x)$를 만족하는 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 부정적분(원시함수)이라 한다. $f(x)$의 부정적분을 구하는 것을 적분한다고 하며, 기호로

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

와 같이 나타낸다. 여기서 $\int$(인테그럴)은 부정적분을 나타내는 기호, $dx$는 $x$에 대해 적분함을 뜻하는 표시이고, $C$는 적분상수라 부르는 임의의 상수이다.

$F(x)$가 $f(x)$의 한 부정적분이면 $F(x)+C$ (C는 임의의 상수) 꼴도 모두 $f(x)$의 부정적분이 된다. 상수를 미분하면 $0$이 되기 때문이다.

직관

부정적분은 도함수를 구하는 과정을 거꾸로 되짚는 작업이다. 도함수가 "지금 어떤 속도로 변하고 있는가"를 알려준다면, 부정적분은 "그 변화 속도로부터 원래의 함수 모양을 복원하는 것"이다.

다만 완전히 하나로 복원되지는 않는다. 예를 들어 $y=x^2$, $y=x^2+3$, $y=x^2-7$은 그래프의 높이만 다를 뿐 기울기(순간변화율)는 어느 지점에서나 똑같다. 즉 미분하면 모두 $2x$가 되어 원래 함수가 "어떤 높이에 있었는지"의 정보는 미분 과정에서 사라진다. 부정적분은 이 사라진 정보를 적분상수 $C$로 남겨 두고, "가능한 원래 함수들의 모임 전체"를 답으로 제시하는 것이다.

유도

이미 미분법에서 $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$이라는 규칙을 알고 있다. 부정적분은 이 규칙을 거꾸로 쓰는 것이므로, 이 규칙을 뒤집어서 "미분하면 $x^n$이 되는 함수"를 직접 찾아보자.

가장 단순한 경우부터 보면, $f(x)=x^2$의 부정적분을 구하고 싶다고 하자. $\dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2$이므로 $x^3$을 그대로 쓰면 계수 $3$이 남아 목표인 $x^2$과 맞지 않는다. 그렇다면 처음부터 계수를 붙여 $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3$으로 시도해 보면

$$F'(x) = \frac{1}{3}\cdot 3x^2 = x^2$$

이 되어 정확히 $x^2$을 얻는다. 즉 $x^3$을 만들 때 곱해지는 $3$을 미리 나누어 상쇄시킨 것이다.

이 방법을 일반적인 $f(x)=x^n$ ($n$은 $-1$이 아닌 실수)에 그대로 적용해 보자. $F(x) = kx^{n+1}$ 꼴로 두고 미분하면

$$F'(x) = k(n+1)x^n$$

이 나온다. 이것이 $x^n$과 같아지려면 $k(n+1)=1$, 즉 $k=\dfrac{1}{n+1}$이어야 한다. 이때 $n+1$로 나누는 과정이 있으므로 $n+1\neq 0$, 즉 $n\neq -1$이라는 조건이 자연스럽게 따라 나온다. 이렇게 구한

$$F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$$

은 미분하면 정확히 $x^n$이 되는 함수다.

마지막으로, $F(x)$가 아니라 $F(x)+C$를 미분해도 $\dfrac{d}{dx}C=0$이므로 결과는 똑같이 $x^n$이다. 따라서 미분해서 $x^n$이 되는 함수는 $F(x)$ 하나가 아니라 $F(x)+C$ 전체이고, 이를 정리하면

$$\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \quad (n\neq -1)$$

이라는 공식을 얻는다. 같은 방식으로, 미분의 극한 성질에서 $(f\pm g)' = f'\pm g'$이고 $(kf)'=kf'$였던 것을 그대로 거꾸로 뒤집으면 부정적분의 선형성 $\int\{f(x)\pm g(x)\}dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$와 $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$도 함께 얻어진다.

공식

• $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (단, $n$은 $-1$이 아닌 실수)
• $\displaystyle \int k\,dx = kx + C$ (k는 상수)
• 선형성: $\displaystyle \int \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$
• $\displaystyle \int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ (k는 상수)

예시

$f(x) = 3x^2 + 2x - 5$의 부정적분을 구해 보자.

$$\int (3x^2+2x-5)\,dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + 2\cdot\frac{x^2}{2} - 5x + C = x^3 + x^2 - 5x + C$$

검산: $\dfrac{d}{dx}(x^3+x^2-5x+C) = 3x^2+2x-5$로 원래 함수와 일치한다.

다음은 $f(x)=2x$의 부정적분 $F(x)=x^2+C$를 $C=-2,\ 0,\ 2$인 경우로 그린 것이다. 세 그래프는 위아래로 평행이동한 관계이며, 어느 점에서 접선을 그어도 기울기가 같다.

🌍 실생활 예시

자동차나 로켓의 운동을 다룰 때, 가속도 센서로 측정한 가속도 $a(t)$를 부정적분하면 속도 함수 $v(t)$의 일반형을 얻고, 속도 $v(t)$를 다시 부정적분하면 위치 함수 $x(t)$의 일반형을 얻는다(속도와 가속도 참고). 이때 실제 시각 $t=0$에서의 초기 속도나 초기 위치(적분상수 $C$에 해당)를 알아야 비로소 하나의 함수로 결정되는데, 이는 내비게이션이나 자율주행 시스템이 센서 데이터로부터 실제 위치를 계산할 때 쓰는 원리와 같다.

⚠️ 흔한 실수

1. 적분상수 $C$를 빠뜨리는 것 → 부정적분은 하나의 함수가 아니라 미분하면 $f(x)$가 되는 모든 함수의 모임이다. $C$를 빠뜨리면 무수히 많은 답 중 하나만 쓴 것이 되어 틀린 답으로 처리된다.

2. $\int x^n dx$에서 $n+1$로 나누는 것을 잊는 것 → 예를 들어 $\int x^3\,dx$를 $x^4+C$로 쓰는 실수. 미분해서 검산하면 $4x^3$이 되어 원래 함수 $x^3$과 맞지 않는다. 반드시 $\dfrac{x^4}{4}+C$가 되어야 미분했을 때 $x^3$이 나온다.

3. $n=-1$인 경우에도 공식을 그대로 적용하는 것 → $\int x^{-1}\,dx$를 공식대로 $\dfrac{x^0}{0}$으로 계산하려 하면 분모가 $0$이 되어 정의되지 않는다. $n=-1$일 때는 다항식 공식이 아니라 $\ln|x|$(로그함수)와 관련된 별도의 결과가 필요하다.

확인 문제

1. $\displaystyle \int (4x^3 - 6x + 1)\,dx$를 구하시오.
2. $f(x)=x^2$와 $g(x)=x^2+5$가 둘 다 $h(x)=2x$의 부정적분임을 미분으로 확인하고, 왜 부정적분의 결과가 하나로 정해지지 않는지 한 문장으로 설명하시오.
3. 어떤 함수 $y=f(x)$의 도함수가 $f'(x)=4x-1$이고 $f(1)=3$일 때, $f(x)$를 구하시오.

📜 역사

17세기 이전에는 넓이나 부피, 운동 문제를 다룰 때마다 각 경우에 맞는 개별적인 방법을 새로 고안해야 했다. 뉴턴과 라이프니츠는 이런 문제들이 사실 미분의 역과정, 즉 "미분하면 주어진 함수가 되는 함수를 찾는 것"으로 통일해서 다룰 수 있음을 밝혔고, 이는 미분과 적분이 서로 역연산 관계라는 미적분의 기본정리로 이어졌다. 라이프니츠는 1675년 무렵 합(sum)을 뜻하는 라틴어 단어의 첫 글자 S를 길게 늘인 모양에서 적분 기호 $\int$를 고안했고, 이 표기가 이후 표준으로 굳어 오늘날까지 쓰이고 있다.

관련 개념

• 도함수 — 부정적분은 도함수를 구하는 과정의 역과정이다.
• 미분법 — 부정적분의 결과가 맞는지는 다시 미분해서 검산한다.
• 정적분 — 부정적분에 구간의 양 끝 값을 대입해 구체적인 넓이 등을 계산한다.
• 치환적분, 부분적분 — 다항식보다 복잡한 함수의 부정적분을 구하는 방법이다.
• 넓이와 정적분 — 부정적분과 정적분의 관계(미적분의 기본정리)를 활용한다.