부분적분법(部分積分法)은 두 함수의 곱으로 이루어진 함수의 부정적분(또는 정적분)을 구할 때, 곱의 미분법을 거꾸로 이용하는 적분 방법이다.
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분가능하고 $f'(x)$, $g'(x)$가 연속일 때, 곱의 미분법(곱의 미분법)에 의해
$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
이 성립한다. 양변을 부정적분하면
$$f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx$$
이므로, 다음의 부분적분 공식을 얻는다.
부분적분은 "미분하기 쉬운 함수"와 "적분하기 쉬운 함수"를 서로 바꿔치기하는 도구다. $\int f(x)g'(x)\,dx$($f$ 곱하기 $g$ 프라임의 적분이라 읽는다)를 직접 구하기 어려울 때, $f$는 미분해서(즉 $f'$로) 더 단순하게 만들고, $g'$는 적분해서(즉 $g$로) 처리한 뒤 남은 적분 $\int f'(x)g(x)\,dx$가 원래보다 쉬워지길 기대하는 것이다.
비유하자면, 곱셈으로 얽힌 두 사람이 있을 때 한 명은 역할(미분)을 줄여주고 다른 한 명은 역할(적분)을 대신 떠맡아 짐을 나누는 것과 같다. 어떤 함수를 $f$로 두고 어떤 함수를 $g'$으로 둘지 잘 선택해야 짐이 실제로 가벼워진다.
예시
예시 1. $\int x e^x\,dx$ 를 구하자. $f(x)=x$, $g'(x)=e^x$ 로 놓으면 $f'(x)=1$, $g(x)=e^x$ 이므로
$$\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C$$
부분적분은 전기·기계 공학에서 신호를 분석할 때 자주 쓰인다. 예를 들어 시간 $t$에 따라 진동하며 크기가 변하는 신호 $t\sin(\omega t)$(진폭이 시간에 비례해 커지거나 작아지는 파형)의 총 에너지나 평균값을 구할 때, 다항식 부분과 삼각함수 부분을 부분적분으로 분리하여 적분값을 계산한다. 이는 신호처리에서 나오는 적분(예: 푸리에 계수 계산)의 기본 계산 도구다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $\int x e^x\,dx$ 에서 $f(x)=e^x$, $g'(x)=x$ 로 놓아도 상관없다고 생각한다.
왜 틀렸는가: 이렇게 놓으면 $f'(x)=e^x$, $g(x)=\dfrac{x^2}{2}$ 가 되어 남은 적분이 $\int \dfrac{x^2}{2}e^x\,dx$ 로, 원래보다 차수가 더 복잡해진다. $f$는 미분해서 단순해지는 함수(다항식), $g'$은 적분해도 형태가 유지되는 함수($e^x$, $\sin x$, $\cos x$ 등)로 선택해야 한다.
잘못된 생각: 공식 $\int f g'\,dx = fg - \int f'g\,dx$ 에서 뒤의 부호를 $+$로 착각한다.
왜 틀렸는가: 부호는 곱의 미분법 $\{fg\}'=f'g+fg'$ 을 이항하는 과정에서 나온 것이므로 반드시 $-$가 붙는다. 부호를 빠뜨리면 최종 결과가 완전히 달라진다.
잘못된 생각: 정적분에서 부분적분을 한 번 적용한 뒤, 남은 적분 $\int_a^b f'(x)g(x)\,dx$ 의 적분 구간을 빼먹거나 처음 구간과 다르게 쓴다.
왜 틀렸는가: $\big[f(x)g(x)\big]_a^b$ 와 남은 정적분은 같은 구간 $[a,b]$ 에서 계산해야 한다. 구간을 누락하면 경계값 계산이 틀어져 답이 엇나간다.
확인 문제
$\int x\cos x\,dx$ 를 부분적분으로 구하여라.
$\int x e^x\,dx$ 를 $u=x,\ dv=e^x dx$ 로 놓는 경우와 $u=e^x,\ dv=x\,dx$ 로 놓는 경우를 각각 끝까지 계산해 보고, 어느 쪽이 더 쉬운지, 그 이유를 한 문장으로 설명하여라.
$\int_1^{e} \ln x\,dx$ 를 구하여라. (힌트: $f(x)=\ln x$, $g'(x)=1$ 로 놓는다.)
정답 보기
$f(x)=x$, $g'(x)=\cos x$ 로 놓으면 $f'(x)=1$, $g(x)=\sin x$. 따라서 $\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$
$u=x,\ dv=e^x dx$: 위 예시 1처럼 $xe^x - e^x + C$ 로 곧바로 끝난다. 반대로 $u=e^x,\ dv=x\,dx$ 로 놓으면 $\int \dfrac{x^2}{2}e^x\,dx$ 라는 더 복잡한 적분이 남아 계속 부분적분을 반복해야 한다. 미분해서 차수가 줄어드는 다항식을 $f$(=$u$)로 놓아야 계산이 단순해진다.
$f(x)=\ln x$, $g'(x)=1$ 로 놓으면 $f'(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=x$. $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$. 따라서 $\int_1^e \ln x\,dx = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$