수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 위치가 $x(t)$로 주어졌다고 하자. 시각 $t$에서 $t+\Delta t$까지 위치의 평균변화율
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$
를 그 구간에서의 평균속도라 한다. 이때 $\Delta t \to 0$일 때의 극한값이 존재하면 이를 시각 $t$에서의 속도(velocity)라 하고
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = x'(t)$$
로 나타낸다. 즉 속도는 위치함수 $x(t)$의 미분계수이자 도함수이다. 속도의 절댓값 $|v(t)|$를 속력(speed)이라 한다.
같은 방법으로 속도 $v(t)$의 순간변화율을 가속도(acceleration)라 하며
$$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = v'(t) = x''(t)$$
로 나타낸다. $x''(t)$($x$ 이중 프라임 $t$라 읽는다, $x(t)$를 두 번 미분한 함수)는 위치함수를 두 번 미분한 것과 같다.
위치를 시각 $t$에 대한 그래프로 그리면, 그 그래프 위 한 점에서의 접선의 기울기가 바로 그 순간의 속도다. 속도-시각 그래프에서도 마찬가지로 접선의 기울기가 가속도가 된다. 즉 "속도는 위치가 얼마나 빨리 변하는가", "가속도는 속도가 얼마나 빨리 변하는가"를 나타내는, 한 단계씩 더 들어간 순간변화율이다.
자동차 계기판의 속도계 바늘이 가리키는 숫자가 바로 그 순간의 속력이고, 가속페달을 밟았을 때 몸이 좌석에 눌리는 느낌이 가속도의 크기와 관련 있다고 생각하면 감이 잡힌다.
미분계수에서 함수 $y=f(x)$ 위 한 점에서의 순간변화율을 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$로 정의했다. 이 아이디어를 시간에 따라 움직이는 점의 위치 $x(t)$에 그대로 적용해서, "그 순간의 빠르기"가 왜 하필 이런 극한으로 정의되는지 따라가 보자.
1단계: 평균속도로는 부족하다. 예를 들어 $x(t) = t^2$인 점이 있다고 하자. $t=1$부터 $t=1+\Delta t$까지의 평균속도는
$$\frac{x(1+\Delta t) - x(1)}{\Delta t} = \frac{(1+\Delta t)^2 - 1}{\Delta t} = \frac{2\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2 + \Delta t$$
이다. $\Delta t = 1$이면 평균속도는 $3$, $\Delta t = 0.1$이면 $2.1$로, 구간을 잡는 방식에 따라 값이 계속 달라진다. 아무리 $\Delta t$를 작게 잡아도 여전히 "구간의 평균"일 뿐, $t=1$ 그 순간의 빠르기라고 확정할 수는 없다.
2단계: 구간을 0으로 좁힌다. 그런데 위 식 $2+\Delta t$를 보면 $\Delta t$가 $0$에 한없이 가까워질수록 값이 $2$에 한없이 가까워지는 것을 알 수 있다. 이 극한값
$$v(1) = \lim_{\Delta t \to 0} (2+\Delta t) = 2$$
는 더 이상 특정 구간의 선택에 의존하지 않는, $t=1$에서만 결정되는 단 하나의 값이다. 일반적인 $t$에 대해서도 같은 계산을 하면 $\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} = \dfrac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t \to 2t$이므로 $v(t) = 2t = x'(t)$를 얻는다. 즉 평균속도의 극한은 정확히 미분계수의 정의와 같은 꼴이 되고, 그래서 속도를 $v(t) = x'(t)$로 정의한다.
3단계: 같은 논리를 속도에 다시 적용한다. 속도 $v(t)$ 역시 시각에 따라 변하는 하나의 함수이므로, 그 순간변화율을 알고 싶다면 $1$~$2$단계와 똑같은 과정을 $v(t)$에 대해 반복하면 된다. 즉 $\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$를 구하는 것인데, 이는 $v(t)$의 도함수, 즉 $x(t)$를 두 번 미분한 것과 같다. 이 값을 가속도 $a(t) = v'(t) = x''(t)$로 정의한다.
위치함수가 $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \;(t \ge 0)$로 주어졌다고 하자.
$$v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3), \qquad a(t) = v'(t) = 6t-12$$
| $t$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $v(t)$ | 9 | 0 | $-3$ | 0 | 9 |
| $a(t)$ | $-12$ | $-6$ | 0 | 6 | 12 |
$t=1$에서 $v(1)=0$이고 이 앞뒤로 $v$의 부호가 $+\to-$로 바뀌므로 점은 이 순간 운동 방향을 바꾼다. $t=3$에서도 마찬가지로 $-\to+$로 방향이 바뀐다. 반면 $t=2$에서는 $a(2)=0$이지만 $v(2)=-3\neq0$이므로 점은 계속 음의 방향으로 움직이고 있다(단지 그 순간 속도의 증가·감소가 뒤바뀌는 지점일 뿐).
자동차의 "제로백"(0에서 시속 100km까지 걸리는 시간)은 평균가속도 개념의 대표적인 예다. 예를 들어 어떤 차가 정지 상태(속력 0)에서 5초 만에 시속 100km(약 $27.8\text{ m/s}$)에 도달했다면, 이 구간의 평균가속도는 $\dfrac{27.8 - 0}{5} \approx 5.56 \text{ m/s}^2$이다. 실제 주행 중에는 페달을 밟는 정도에 따라 가속도가 순간마다 달라지므로, 진짜 그 순간의 가속도를 구하려면 속도함수를 미분해야 한다.
17세기 이전에는 물체가 떨어지거나 날아갈 때 "그 순간의 빠르기"를 정확히 나타낼 방법이 없었다. 평균속력은 구간을 정해야 계산할 수 있었는데, 구간을 아무리 짧게 잡아도 여전히 구간이었지 순간 그 자체는 아니었기 때문이다. 17세기 후반 아이작 뉴턴은 운동을 다루는 과정에서 이 문제를 풀기 위해 유율법(fluxion)이라 부른 방법을 고안했고, 위치의 순간변화율을 속도로, 속도의 순간변화율을 가속도로 다루었다. 비슷한 시기 고트프리트 라이프니츠도 독립적으로 미분 개념을 정리했으며, 오늘날 쓰이는 $x'(t)$, $x''(t)$ 같은 표기들은 이때 자리 잡은 극한 개념 위에서 다듬어진 것이다.