미적분의 기본정리

해석 고등 · 교육과정: 미분과 적분이 서로 역연산임을 밝히는 정리. 고등 과정에서는 '정적분과 미분의 관계'로 다룬다. · v1 · 🤖 LLM 버전

이 개념은 미분과 적분이 서로 역연산임을 밝히는 정리이며, 고등학교 과정에서는 '정적분과 미분의 관계'라는 이름으로 다룬다.

정의

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일 때, $x \in [a,b]$에 대하여

$$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$$

로 정의된 함수 $F(x)$는 $[a,b]$에서 미분가능하고,

$$F'(x) = f(x)$$

가 성립한다. 이를 미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라 한다.

따름정리로, $f$의 한 부정적분을 $G(x)$라 하면

$$\int_a^b f(x)\, dx = G(b) - G(a)$$

가 성립한다. 이 식 덕분에 정적분을 구분구적법의 극한으로 계산하지 않고 부정적분을 이용해 계산할 수 있다.

직관

$F(x)$를 "$a$부터 $x$까지 곡선 아래 쌓인 넓이"라고 생각하자. $x$가 아주 조금($h$만큼) 늘어나면, 그만큼 늘어난 넓이는 폭이 $h$이고 높이가 대략 $f(x)$인 얇은 직사각형의 넓이, 즉 $f(x) \cdot h$에 가깝다. 그러므로 넓이가 늘어나는 순간변화율은 바로 그 순간의 $f(x)$ 값이다 — "쌓인 양을 미분하면 쌓이는 속도가 나온다."

자동차에 비유하면, 오도미터(누적 주행 거리계)가 보여주는 거리 $F(x)$를 시간에 대해 미분하면 바로 그 순간 속도계가 가리키는 값 $f(x)$가 나오는 것과 같다.

유도

미분계수의 정의로부터 시작하자.

$$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$$

정적분의 구간에 대한 덧셈성에 의해 $F(x+h) - F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\, dt$이다.

$h>0$이라 하자. $f$는 $[x, x+h]$에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의해 이 구간에서 최솟값 $m_h$, 최댓값 $M_h$가 존재하고,

$$m_h \cdot h \le \int_x^{x+h} f(t)\, dt \le M_h \cdot h$$

가 성립한다. 양변을 $h$로 나누면

$$m_h \le \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \le M_h$$

이다. 그런데 $f$가 $x$에서 연속이므로 $h \to 0$일 때 구간 $[x,x+h]$가 점 $x$로 줄어들면서 $m_h \to f(x)$, $M_h \to f(x)$가 된다. 조임 정리(샌드위치 정리)에 의해

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f(x)$$

이다. $h<0$인 경우도 구간 $[x+h, x]$에 같은 논리를 적용하면 동일한 결과를 얻으므로 $F'(x) = f(x)$가 성립한다.

이제 따름정리를 보이자. $G(x)$가 $f$의 임의의 부정적분이면 $F$도 $f$의 부정적분이므로 $(G-F)'=0$, 즉 $G(x) = F(x) + C$ ($C$는 상수)이다. $x=a$를 대입하면 $F(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0$이므로 $G(a) = C$이다. $x=b$를 대입하면 $G(b) = F(b) + G(a)$, 즉

$$F(b) = \int_a^b f(x)\, dx = G(b) - G(a)$$

를 얻는다.

예시

예시 1. $F(x) = \int_0^x (2t+3)\, dt$일 때, 적분을 직접 계산하지 않고 미적분의 기본정리로 $F'(x) = 2x+3$을 바로 얻는다. (실제로 $F(x)=x^2+3x$이고 이를 미분해도 $2x+3$이 나와 일치를 확인할 수 있다.)

예시 2. 상한이 $x$가 아니라 $x^2$인 경우, 합성함수의 미분법을 함께 써야 한다. $$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\, dt = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x\sin(x^2)$$

예시 3. 따름정리를 이용한 정적분 계산: $\int_1^3 (3x^2 - 2x)\, dx = \left[x^3 - x^2\right]_1^3 = (27-9)-(1-1) = 18$

🌍 실생활 예시

자동차의 순간 속도계와 오도미터(누적 주행 거리계)는 미적분의 기본정리로 연결되어 있다. 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때 이동 거리는 $s(t) = \int_0^t v(\tau)\, d\tau$인데, 이 $s(t)$를 시간에 대해 미분하면 다시 $v(t)$가 나온다. 즉 "지금까지 달린 거리"를 계속 미분해 나가면 "지금 이 순간의 속도"가 복원되는데, 이것이 바로 미적분의 기본정리가 말하는 내용이다.

⚠️ 흔한 실수

• $F'(x)$를 구하라는데 $f'(x)$를 답으로 쓰는 실수: $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$의 도함수는 $f(x)$ 자신이지 $f(x)$를 한 번 더 미분한 $f'(x)$가 아니다. "적분한 걸 미분하면 원래 함수가 나온다"는 것이 정리의 핵심인데, 습관적으로 미분 공식을 한 번 더 적용해버리는 경우가 많다.
• 상한이 $x$가 아닐 때 합성함수 미분(연쇄법칙)을 빠뜨리는 실수: $\dfrac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$인데, 뒤의 $g'(x)$를 곱하지 않고 $f(g(x))$만 답으로 쓰는 경우가 많다. 상한이 $x^2$, $2x$ 등으로 바뀌면 반드시 그 함수의 도함수를 곱해야 한다.
• 정적분에 적분상수 $C$를 붙이는 실수: $\int_a^b f(x)\,dx$는 숫자(값)이지 함수가 아니므로 $C$가 붙을 자리가 없다. $C$는 부정적분에서만 필요하며, 정적분은 부정적분에 상한·하한을 대입해 뺀 값이므로 계산 과정에서 $C$가 항상 상쇄되어 사라진다.

확인 문제

1. $F(x) = \int_0^x (t^2 - 4)\, dt$일 때, $F(x)$가 증가하는 $x$의 범위를 구하여라. (직접 적분을 계산하지 말고 미적분의 기본정리를 이용할 것.)
2. $\dfrac{d}{dx}\int_1^x (3t^2+1)\, dt$를 구하여라.
3. $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2} \cos t\, dt$를 구하여라.

📜 역사

17세기 후반 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠는 서로 독립적으로 미적분학을 체계화하면서, 접선(순간변화율)을 구하는 문제와 넓이(누적량)를 구하는 문제가 사실은 서로 역연산 관계에 있음을 밝혔다. 이보다 앞서 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로도 기하학적인 방법으로 접선과 넓이 사이의 관계를 이미 알아챈 것으로 알려져 있다. 이후 19세기에 오귀스탱루이 코시가 극한 개념을 엄밀하게 다듬으면서, 오늘날 교과서에 실린 것과 같은 형태의 증명이 정립되었다.

관련 개념

• 정적분
• 도함수
• 함수의 연속
• 부정적분
• 넓이와 정적분