구분구적법

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정의

구분구적법(區分求積法)은 도형을 유한 개의 작은 조각으로 나누어 각 조각의 넓이(또는 부피)의 합으로 전체 도형의 넓이(또는 부피)를 근사한 뒤, 조각의 개수 $n$을 한없이 크게 하여(즉 조각의 폭을 한없이 0에 가깝게 하여) 그 합의 극한값으로 정확한 넓이(부피)를 구하는 방법이다.

닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$인 함수 $y=f(x)$의 그래프와 $x$축, 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구할 때, 구간을 $n$등분하여 폭 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$인 직사각형 $n$개를 만들고, $k$번째 직사각형의 오른쪽 끝점을 $x_k = a+k\Delta x$라 하면

$$S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\, \Delta x$$

이다. 여기서 $\sum$(시그마라 읽는다)는 뒤에 오는 식을 $k=1$부터 $n$까지 더하라는 기호이고, $\lim_{n\to\infty}$(리미트, $n$이 무한대로 갈 때의 극한이라 읽는다)는 $n$을 한없이 크게 했을 때 값이 다가가는 극한값을 뜻한다.

직관

계단 모양의 직사각형들로 곡선 아래 부분을 채운다고 생각해 보자. 직사각형 개수가 적으면 실제 곡선과 계단 사이에 큰 틈(오차)이 생기지만, 직사각형을 점점 잘게 나눌수록 계단이 곡선에 가까워지면서 틈이 줄어든다. 직사각형이 무한히 많아지고 폭이 0에 가까워지는 극한 상황에서는 계단과 곡선의 오차가 완전히 사라진다고 볼 수 있고, 이때 직사각형 넓이의 합의 극한이 곧 곡선 아래 넓이가 된다. 이 아이디어는 뒤에 배우는 정적분의 정의로 그대로 이어진다.

예시

함수 $y=x^2$의 그래프와 $x$축, 직선 $x=1$로 둘러싸인 부분(구간 $[0,1]$)의 넓이를 구분구적법으로 구해 보자.

구간 $[0,1]$을 $n$등분하면 $\Delta x = \dfrac{1}{n}$이고, $k$번째 직사각형의 오른쪽 끝점은 $x_k = \dfrac{k}{n}$이다.

$$\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

이를 전개하면 $\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} = \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}$이고, $n\to\infty$일 때 $\dfrac{1}{2n}$과 $\dfrac{1}{6n^2}$은 모두 0으로 가므로

$$S = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right) = \frac{1}{3}$$

🌍 실생활 예시

측량이나 지도 제작에서는 강이나 해안선처럼 경계가 곡선인 땅의 넓이를 정확한 식으로 구할 수 없을 때가 많다. 이때 땅을 일정한 간격의 좁은 띠(사다리꼴이나 직사각형)로 잘라 각 조각의 넓이를 재고 모두 더해 전체 넓이를 근사하는데, 이것이 바로 구분구적법의 발상이다. 띠의 폭을 더 좁게 나눌수록 더 정확한 값을 얻을 수 있으며, 이 원리는 컴퓨터로 함수의 정적분 값을 수치적으로 계산하는 방법(수치적분)의 기초가 된다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: 직사각형을 $n=100$개, $n=1000$개처럼 아주 많이 나누기만 하면 그 합이 곧 정확한 넓이다. → 왜 틀렸는지: $n$이 아무리 커도 유한한 값이면 그 합은 여전히 근사값(오차 있음)이다. 정확한 넓이가 되려면 $n \to \infty$인 극한을 반드시 취해야 한다.
• 잘못된 생각: 각 조각의 높이를 왼쪽 끝점 값으로 잡느냐 오른쪽 끝점 값으로 잡느냐에 따라 최종 넓이가 달라진다. → 왜 틀렸는지: 유한한 $n$에서는 두 값의 합이 서로 다르지만, $f$가 연속이면 $n\to\infty$일 때 두 극한값은 항상 같아진다. 즉 조각 안 어느 점을 표본점으로 잡아도 극한값(정확한 넓이)은 하나로 정해진다.
• 잘못된 생각: $\Delta x$는 항상 $\dfrac{1}{n}$이다. → 왜 틀렸는지: $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$으로, 구간의 길이 $b-a$를 반드시 곱해야 한다. 구간이 $[0,1]$이 아니라 $[0,2]$처럼 길이가 1이 아니면 $\Delta x = \dfrac{2}{n}$이 되어 결과가 달라진다.

확인 문제

1. 함수 $y=x$의 그래프와 $x$축, 직선 $x=2$로 둘러싸인 도형(밑변 2, 높이 2인 직각삼각형)의 넓이를 구분구적법으로 직접 계산하고, 도형의 넓이 공식($\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$)과 같은 값이 나오는지 확인하라.
2. 구간 $[0,1]$을 $n=4$로 등분하여 $y=x^2$의 오른쪽 끝점 리만합 $\sum_{k=1}^{4}\left(\frac{k}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}$을 계산해 보고, 예시에서 구한 극한값 $\frac{1}{3}$과 비교해 보라. $n$을 키우면 이 값이 어떻게 변할지 설명하라.
3. 구분구적법에서 $n\to\infty$의 극한을 취하지 않고 $n=10$ 정도로 멈춘다면, 실제 넓이보다 큰 값이 나올 수도 있고 작은 값이 나올 수도 있다. $y=x^2$처럼 증가하는 함수에서 오른쪽 끝점을 표본점으로 잡을 때 그 합이 실제 넓이보다 큰지 작은지 그림을 그려 판단하라.

관련 개념

• 함수
• 수열의 극한
• 정적분
• 넓이와 정적분
• 부피와 정적분