# 정수와 유리수

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A0%95%EC%88%98%EC%99%80_%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98

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## 정의

정수는 자연수 $1, 2, 3, \dots$(이를 양의 정수라고도 한다)와 그 앞에 $-$ 부호를 붙인 음의 정수 $-1, -2, -3, \dots$, 그리고 $0$을 모두 합친 수 전체를 말한다.

$$\text{정수} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$

유리수는 두 정수 $a$, $b$ ($b \neq 0$, "$b$는 $0$이 아니다"라고 읽는다)를 써서 분수 $\dfrac{a}{b}$ 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 정수 $a$는 $\dfrac{a}{1}$로 쓸 수 있으므로, 모든 정수는 유리수에 포함된다.

## 직관

정수는 자연수만으로는 표현할 수 없는 "반대 방향"을 나타내기 위해 만든 수다. 해발고도가 $+100\text{m}$이면 산 위, $-100\text{m}$이면 바다 밑이듯이, 부호는 방향(또는 상태)을, 숫자 부분(절댓값)은 크기를 나타낸다. $|a|$(절댓값 $a$라고 읽는다)는 수직선에서 $a$가 원점 $0$으로부터 떨어진 거리이다. 예를 들어 $|-5|=5$, $|3|=3$이다.

유리수는 정수만으로는 표현할 수 없는 "정수 사이의 값"—빚을 나눠 갚거나 소금물의 농도처럼 나누어 떨어지지 않는 상황—을 표현하기 위한 수다. 정수는 유리수라는 더 큰 틀 안의 특별한 경우일 뿐이다.

## 성질

유리수의 사칙연산에서 부호는 다음 규칙을 따른다.

- 덧셈: 같은 부호끼리는 절댓값을 더하고 그 부호를 붙인다. 다른 부호끼리는 절댓값이 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼고, 절댓값이 큰 쪽의 부호를 붙인다.
- 뺄셈: 빼는 수의 부호를 바꾸어 더한다. 즉 $a - b = a + (-b)$.
- 곱셈·나눗셈: 부호가 같으면 결과는 $+$, 부호가 다르면 결과는 $-$이다.

## 예시

- $(-3) + 5 = 2$ (다른 부호이므로 $5-3=2$에 절댓값이 큰 $5$의 부호 $+$를 붙임)
- $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ (빼는 수 $-3$의 부호를 바꾸어 더함)
- $(-2) \times (-4) = 8$ (같은 부호이므로 $+$)
- $(-6) \div 3 = -2$ (다른 부호이므로 $-$)
- $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{6}$

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $5 - (-3)$을 계산할 때 그냥 $5 - 3 = 2$로 계산한다.
 **왜 틀렸는지**: 뺄셈을 할 때는 빼는 수의 부호를 반드시 바꾸어 덧셈으로 고쳐야 한다. $5-(-3)=5+3=8$이 맞다. 괄호 안 음수 부호를 지우고 계산하면 부호가 반대로 바뀐다.

- **잘못된 생각**: $(-2) \times (-3) = -6$이라고 생각한다.
 **왜 틀렸는지**: 음수와 음수를 곱하면 부호가 같으므로 결과는 양수다. $(-2)\times(-3)=6$이 맞다. "마이너스가 있으니 결과도 마이너스"라는 직관은 곱셈 부호 규칙과 다르다.

- **잘못된 생각**: 절댓값이 큰 수가 항상 더 큰 수라고 생각해 $-8$이 $-3$보다 크다고 판단한다.
 **왜 틀렸는지**: 음수는 절댓값이 클수록 수직선에서 원점에서 더 멀리 있는 음의 방향, 즉 더 작은 수다. $-8 < -3$이 맞다.

## 확인 문제

1. $(-7) + 3$을 계산하시오.
2. $(-4) \times (-5)$를 계산하시오.
3. $-8$과 $-3$ 중 더 큰 수는 무엇인가?

정답 보기:

1. $-4$: 다른 부호이므로 절댓값 차 $7-3=4$에 절댓값이 큰 $-7$의 부호 $-$를 붙인다.
2. $20$: 같은 부호(둘 다 음수)의 곱이므로 결과는 양수.
3. $-3$: 수직선에서 $-3$이 $-8$보다 오른쪽(원점에 더 가까움)에 있으므로 $-3 > -8$이다.



## 관련 개념

- 자연수 — 정수는 자연수에 음의 정수와 $0$을 더해 확장한 수 체계이다.
- 소수와 합성수 — 자연수의 곱셈 구조를 이해하는 데 필요한 선수 개념이다.
- 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 — 유리수의 사칙연산은 이 연산의 부호 규칙을 확장한 것이다.
- 유리수와 순환소수 — 유리수를 소수로 나타냈을 때의 성질을 다룬다.
- 문자와 식, 방정식 — 정수와 유리수의 연산은 이후 문자식과 방정식 계산의 기초가 된다.

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관련 개념:
- 자연수 (/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98)
- 소수와 합성수 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%99%80_%ED%95%A9%EC%84%B1%EC%88%98)
- 덧셈과 뺄셈 (/wiki/math/%EB%8D%A7%EC%85%88%EA%B3%BC_%EB%BA%84%EC%85%88)
- 곱셈 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88)
- 나눗셈 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%88%97%EC%85%88)
- 유리수와 순환소수 (/wiki/math/%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%99%80_%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98)
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 방정식 (/wiki/math/%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)