소수와 합성수

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정의

소수(素數, prime number)는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신, 단 두 개뿐인 수를 말한다. 예를 들어 7의 약수는 1과 7뿐이므로 7은 소수다.

합성수(合成數, composite number)는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 세 개 이상인 수, 즉 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 적어도 하나 더 가지는 수를 말한다. 예를 들어 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 네 개이므로 6은 합성수다.

여기서 "$a$는 $b$의 약수이다"라는 말은 $b \div a$(b 나누기 a)의 나머지가 0이라는 뜻이다. 1은 약수가 1 하나뿐이라 소수의 정의(약수가 정확히 두 개)도, 합성수의 정의(약수가 세 개 이상)도 만족하지 못하므로, 소수도 합성수도 아니다.

직관

자연수를 곱셈으로 만들어지는 결과물이라고 생각해 보자. 합성수는 더 작은 자연수들을 곱해서 "조립"할 수 있는 수다. 예를 들어 $12 = 3 \times 4$처럼 여러 약수의 조합으로 쪼갤 수 있다. 반면 소수는 아무리 애써도 자기 자신과 1의 곱 말고는 다른 곱셈으로 나타낼 수 없는, 더는 쪼개지지 않는 수다. 레고에 비유하면 소수는 낱개 블록이고, 합성수는 그 블록들을 여러 개 이어 붙여 만든 구조물이다.

성질

• 2는 소수 중 유일한 짝수다. 2보다 큰 짝수는 모두 2를 약수로 가지므로 항상 합성수다.
• 소수는 100 이하에서만 해도 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... 처럼 무수히 많이 나타나며, 실제로 소수는 끝없이 존재한다는 것이 알려져 있다.
• 모든 합성수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있는데, 이는 소인수분해에서 더 자세히 다룬다.

예시

• 15의 약수: 1, 3, 5, 15 → 네 개이므로 합성수.
• 13의 약수: 1, 13 → 두 개이므로 소수.
• 91은 언뜻 소수처럼 보이지만 $91 = 7 \times 13$이므로 약수가 1, 7, 13, 91로 네 개다. 따라서 91은 합성수다.
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 — 30 이하의 소수는 이 열 개가 전부다.

🌍 실생활 예시

인터넷 뱅킹이나 온라인 쇼핑에서 쓰이는 공개키 암호(RSA 암호) 방식은 아주 큰 소수 두 개를 곱해 만든 합성수는 원래의 소수 두 개로 다시 나누기가(소인수분해가) 매우 어렵다는 성질을 이용한다. 이 덕분에 암호화된 정보를 안전하게 주고받을 수 있다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: "1은 가장 작은 소수다." → 왜 틀렸는가: 소수는 약수가 정확히 두 개(1과 자기 자신)여야 하는데, 1은 약수가 1 하나뿐이라 이 조건을 만족하지 않는다. 1은 소수도 합성수도 아닌 별도의 수다.
• 잘못된 생각: "짝수는 모두 합성수다." → 왜 틀렸는가: 2는 짝수이면서도 약수가 1과 2뿐인 소수다. 2를 제외한 짝수만 항상 합성수가 된다.
• 잘못된 생각: "끝자리가 1, 3, 7, 9인 수는 항상 소수다." → 왜 틀렸는가: 91($=7\times13$), 51($=3\times17$), 63($=9\times7$)처럼 끝자리만으로는 판단할 수 없는 합성수가 많다. 실제로 그 수보다 작은 소수들로 하나씩 나누어 봐야 확실히 판별할 수 있다.

확인 문제

1. 1부터 20까지의 자연수 중 소수를 모두 찾아라.
2. 51이 소수인지 합성수인지 판별하고, 그렇게 판단한 근거(약수)를 써라.
3. 두 소수를 곱하면 그 결과는 항상 합성수일까? 예를 들어 설명하고, 그 이유를 약수의 개수로 설명해 보라.

관련 개념

• 자연수
• 약수와 배수
• 나눗셈
• 소인수분해
• 최대공약수와 최소공배수