이 개념은 정규 교육과정 외의 내용으로, 지수함수와 삼각함수를 복소수 위에서 하나로 잇는 등식이다. 이 공식으로부터 복소수의 극형식과 드무아브르의 정리가 왜 성립하는지가 한 줄로 설명된다.
실수 $\theta$에 대해 다음이 성립한다.
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
여기서 $i$는 $i^2 = -1$을 만족하는 허수단위이고, $\theta$는 라디안 단위의 각이다. 이 등식을 오일러 공식(Euler's formula)이라 한다. 특히 $\theta = \pi$를 대입하면 $e^{i\pi} = -1$, 즉
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
을 얻는데, 이를 오일러 항등식이라 부른다.
복소평면에서 절댓값이 1인 복소수는 모두 원점을 중심으로 한 단위원 위에 있다. 오일러 공식은 "$\theta$만큼 회전한 위치"를 지수함수 $e^{i\theta}$로 표현할 수 있다는 뜻이다. 즉 $\theta$를 늘리는 것이 곱셈에서는 $e^{i\theta}$를 계속 곱하는 것과 같고, 그림에서는 단위원 위를 반시계 방향으로 도는 것과 같다. 복소수의 극형식 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$가 $z = re^{i\theta}$로 다시 쓰이는 이유, 그리고 두 복소수를 곱할 때 각이 더해지는 이유(드무아브르의 정리)도 결국 지수법칙 $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ 하나로 설명된다.
테일러 급수에 따르면 실수 $x$에 대해 다음 세 급수가 성립한다.
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \quad \cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}, \quad \sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
$e^x$의 급수는 복소수 $x$에 대해서도 그대로 정의로 삼을 수 있다. $x = i\theta$를 대입해 보자.
$$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}$$
여기서 $i$의 거듭제곱은 $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\dots$ 로 주기 4로 반복된다. 항을 짝수 번째($n=2k$)와 홀수 번째($n=2k+1$)로 나누어 보면,
$$\frac{(i\theta)^{2k}}{(2k)!} = \frac{i^{2k}\theta^{2k}}{(2k)!} = \frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}, \qquad \frac{(i\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{i^{2k+1}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} = i\cdot\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
이 두 계산은 $i^{2k} = (i^2)^k = (-1)^k$, $i^{2k+1} = i^{2k}\cdot i$에서 나온다. 이제 짝수 항들을 모두 더하면 위의 $\cos\theta$ 급수와 정확히 같고, 홀수 항들을 모두 더하면 $i \times (\sin\theta\text{ 급수})$와 같다. 즉
$$e^{i\theta} = \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}}_{=\cos\theta} + i\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{=\sin\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
가 성립한다. 이로부터 두 각의 곱을 다루는 문제도 지수법칙만으로 풀린다: $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$이므로 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$, 이것이 드무아브르의 정리다.
$\theta = \dfrac{\pi}{2}$일 때: $e^{i\pi/2} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + i\cdot 1 = i$
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때 세제곱 확인: $e^{i\pi/3} = \dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2}$이고, $\left(e^{i\pi/3}\right)^3 = e^{i\pi} = -1$이다. 실제로 $\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^3$을 직접 전개해도 $-1$이 나온다.
아래 그래프는 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$의 실수부($\cos x$)와 허수부($\sin x$)를 각각 보여준다.
전기공학에서 교류(AC) 회로의 전압·전류는 $V(t) = V_0\cos(\omega t + \phi)$처럼 시간에 따라 진동한다. 이런 신호를 다룰 때 미분·적분과 위상차 계산이 번거로운데, $V(t)$를 $V_0 e^{i(\omega t+\phi)}$의 실수부로 취급하는 페이저(phasor) 기법을 쓰면 미분이 $i\omega$를 곱하는 대수 연산으로 바뀌어 계산이 훨씬 간단해진다. 이 기법의 근거가 바로 오일러 공식이다.
레온하르트 오일러는 지수함수와 삼각함수를 각각 무한급수로 표현하는 연구를 하던 중, 두 급수가 허수단위 $i$를 매개로 서로 얽혀 있다는 사실을 발견했다. 그는 1748년에 발표한 저서 《무한소 해석 입문》(Introductio in analysin infinitorum)에서 이 관계를 명시적으로 제시했다. 당시에는 복소수 자체가 아직 완전히 받아들여진 개념이 아니었기 때문에, 지수함수를 복소수로 확장할 수 있다는 이 결과는 해석학과 복소수론을 잇는 중요한 다리가 되었다. 이후 $\theta=\pi$를 대입한 $e^{i\pi}+1=0$은 수학에서 가장 중요한 다섯 상수($0,1,e,i,\pi$)를 한 식에 담은 항등식으로 널리 알려지게 되었다.