테일러 급수

해석 대학 · 교육과정: 정규 교육과정 외 — 함수를 다항식의 무한합으로 펼치는 방법. 계산기가 sin이나 지수함수의 값을 어떻게 구하는지가 여기서 나온다. · v1 · 🤖 LLM 버전

이 개념은 정규 교육과정 밖의 내용으로, 함수를 다항식의 무한합으로 펼쳐 놓는 방법이다. 계산기가 $\sin$ 값이나 지수함수 값을 순식간에 뽑아내는 원리도 바로 여기에서 나온다.

정의

함수 $f$가 점 $a$에서 무한히 미분 가능하다고 하자(즉 모든 계수의 고계도함수가 $a$에서 존재한다고 하자). 이때 $f$의 $a$를 중심으로 한 테일러 급수(Taylor series)는 다음 급수로 정의된다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

여기서 $f^{(n)}(a)$는 $f$의 $n$계도함수의 $a$에서의 값, $n!$($n$ 팩토리얼이라 읽는다)은 $1$부터 $n$까지의 곱이다. 특히 $a=0$인 경우를 매클로린 급수(Maclaurin series)라 부른다.

주의할 점: 위 급수가 항상 $f(x)$와 같은 값을 갖는 것은 아니다. 급수가 실제로 $f(x)$로 수렴할 때 $f$는 그 점 근방에서 해석적(analytic)이라고 말한다.

직관

산을 오르는 길을 직선(접선)으로만 표시하면 출발점 근처에서만 맞고 멀어질수록 어긋난다. 여기에 곡률(2차 정보), 곡률의 변화율(3차 정보) 등을 하나씩 더해 다항식을 점점 정교하게 만들면, 접점 근처에서는 원래 곡선과 거의 구별되지 않는 근사가 만들어진다. 테일러 급수는 이 과정을 무한히 반복한 결과다 — 다항식만으로 계산하기 어려운 함수($\sin$, $e^x$, $\ln$)를 사칙연산만으로 근사할 수 있게 해 준다.

유도

이미 알고 있는 것부터 시작하자. $f$의 $x=a$에서의 접선(1차 근사)은

$$L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$$

이다. 이 식은 $L(a)=f(a)$, $L'(a)=f'(a)$만 맞출 뿐, $f$의 휘어짐(2계도함수)은 전혀 반영하지 못한다. 그래서 $a$ 근처에서만 쓸 만하고 조금만 멀어져도 오차가 커진다.

이 문제를 풀려면 이차항을 추가하면 된다. $P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + c_2(x-a)^2$로 두고, $P_2''(a) = f''(a)$가 되도록 $c_2$를 정하자. $P_2''(x) = 2c_2$이므로 $2c_2 = f''(a)$, 즉 $c_2 = \dfrac{f''(a)}{2}$이다.

이 패턴을 일반화하자. $n$차 다항식 $P_n(x) = \sum_{k=0}^n c_k (x-a)^k$가 $a$에서 $f$와 $0$계부터 $n$계까지 도함수가 모두 같도록, 즉 모든 $j=0,\dots,n$에 대해 $P_n^{(j)}(a) = f^{(j)}(a)$가 되도록 $c_k$를 정하고 싶다. $(x-a)^k$를 $j$번 미분해 $x=a$를 대입하면

$$\left.\frac{d^j}{dx^j}(x-a)^k\right|_{x=a} = \begin{cases} 0 & j \ne k \\ k! & j = k \end{cases}$$

이므로 다른 항은 전부 사라지고 $P_n^{(j)}(a) = j!\,c_j$만 남는다. 이를 $f^{(j)}(a)$와 같다고 놓으면

$$c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}$$

즉, 도함수를 하나씩 더 맞추도록 다항식을 늘려 가면 계수가 자동으로 $\dfrac{f^{(j)}(a)}{j!}$로 정해진다. $n \to \infty$로 보내면 정의에서 제시한 급수 자체가 나온다.

물론 $P_n$은 유한한 다항식이라 $f$와 완전히 같지 않고 오차 $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$가 남는다(평균값 정리를 일반화하면 어떤 $\xi$가 $a$와 $x$ 사이에 존재해 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$로 쓸 수 있음이 알려져 있다). 급수가 $f$와 실제로 같으려면 이 나머지항이 $n\to\infty$일 때 $0$으로 가야 한다.

예시

$f(x) = e^x$는 모든 계수의 도함수가 $e^x$ 자신이므로 $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$이다. 따라서 매클로린 급수는

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$

$x=0.1$을 넣으면 $1 + 0.1 + 0.005 + 0.000167 + \cdots \approx 1.10517$로, 실제 $e^{0.1} \approx 1.10517$과 소수점 다섯 자리까지 일치한다. 같은 방식으로 $\sin x$는 홀수차 항만 남아 $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$가 된다.

두 그래프를 보면 $x=0$ 근처에서는 거의 겹치지만 $|x|$가 커질수록 다항식이 실제 $\sin x$에서 벗어난다 — 유한 항으로 자른 근사의 한계다.

🌍 실생활 예시

계산기나 컴퓨터의 수학 라이브러리는 $\sin$, $\cos$, $e^x$, $\ln x$ 값을 표를 찾아 주는 게 아니라 이런 다항식 근사(테일러 급수 또는 그것을 개선한 다항식)를 아주 빠르게 계산해서 값을 낸다. 물리학의 단진자 운동에서 각도 $\theta$가 작을 때 $\sin\theta \approx \theta$로 근사하는 것도 $\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{6} + \cdots$에서 1차 항만 남긴 결과다.

⚠️ 흔한 실수

• 급수가 항상 원래 함수와 같다고 착각한다. 반례로 $f(x) = e^{-1/x^2}$ ($f(0)=0$으로 정의)는 $x=0$에서 모든 계수의 도함수가 $0$이다. 그러면 매클로린 급수는 항등적으로 $0$인데, $x\ne 0$에서 $f(x) \ne 0$이므로 급수는 $x=0$에서만 $f$와 일치하고 그 외에서는 전혀 맞지 않는다. 무한히 미분 가능하다고 해서 테일러 급수가 함수와 같아지는 것은 아니다.
• 계수에서 $n!$로 나누는 것을 빠뜨린다. $c_n = f^{(n)}(a)$로 잘못 쓰면 $\sin x$의 3차항이 $-\dfrac{x^3}{6}$이 아니라 $-x^3$이 되어 버린다.
• 테일러 급수와 매클로린 급수를 서로 다른 개념으로 오해한다. 매클로린 급수는 그저 중심이 $a=0$인 특수한 경우일 뿐, 별개의 공식이 아니다.

확인 문제

1. $f(x) = \cos x$의 매클로린 급수를 유도 과정을 따라 직접 구하고, 왜 $x$가 작을 때 $\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}$로 근사해도 되는지 설명하시오.
2. $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$를 $a=0$에서 테일러 급수로 전개하고, 이 급수가 실제로 $f(x)$와 같아지는 $x$의 범위(수렴 반지름)를 말하시오.
3. 본문의 $e^{-1/x^2}$ 예시가 보여 주는 것은 무엇인가? "무한히 미분 가능함"과 "테일러 급수가 함수와 같음"이 왜 서로 다른 조건인지 한 문장으로 설명하시오.

📜 역사

영국의 수학자 브룩 테일러(Brook Taylor)는 1715년에 이 일반적인 급수 전개법을 발표했다. 이후 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)이 1742년 저서에서 $a=0$인 특수한 경우를 널리 사용하고 소개하면서, 정작 먼저 발표한 사람은 테일러였음에도 이 특수한 경우에 매클로린의 이름이 붙어 오늘날까지 쓰이고 있다.

관련 개념

• 고계도함수 — 테일러 급수의 각 계수를 만드는 재료
• 급수 — 테일러 급수는 무한급수의 한 예
• 평균값 정리 — 나머지항 $R_n(x)$의 크기를 통제하는 데 쓰인다
• 오일러 공식 — $e^{ix}$의 테일러 급수를 통해 유도할 수 있다
• 지수함수 — 테일러 급수로 값을 계산하는 대표적인 초월함수