삼각함수의 덧셈정리

해석 고등 · 교육과정: 두 각의 합·차의 삼각함수를 각각의 삼각비로 나타내는 공식. 배각·반각 공식과 삼각함수의 합성이 모두 여기서 나온다. · v1 · 🤖 LLM 버전

이 개념은 두 각의 합이나 차에 대한 삼각함수 값을 각각의 각에 대한 삼각함수 값으로 나타내는 공식이며, 배각·반각 공식과 삼각함수의 합성이 모두 이 공식에서 파생된다.

정의

임의의 실수 $\alpha$(알파), $\beta$(베타)에 대해 다음이 성립한다.

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\qquad \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\qquad \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

(단, $\tan$이 정의되지 않는 각이나 분모가 0이 되는 경우는 제외한다.)

직관

$\cos\theta, \sin\theta$는 단위원(반지름이 1인 원) 위에서 $\theta$만큼 회전한 점의 $x, y$좌표다. 각을 더한다는 것은 회전을 이어서 한다는 뜻이다. 그런데 $\sin(\alpha+\beta)$가 $\sin\alpha+\sin\beta$처럼 단순히 더해지지 않는 이유는, 회전 두 번을 합친 결과가 각 회전의 좌표를 단순히 더한 것과는 전혀 다른 새로운 위치이기 때문이다. 덧셈정리는 "두 번의 회전을 합친 새 좌표를 원래 두 회전의 좌표들로 어떻게 표현할 수 있는가"에 대한 답이다.

유도

단위원 위의 두 점 $A(\cos\alpha,\sin\alpha)$, $B(\cos\beta,\sin\beta)$를 생각하자. 평면좌표의 두 점 사이의 거리 공식으로 $\overline{AB}$를 구하면

$$\overline{AB}^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2 = 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)$$

($\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$을 두 번 사용해 정리했다.)

이제 원 전체를 원점을 중심으로 $-\beta$만큼 회전시키면 $B$는 $(1,0)$으로, $A$는 $(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))$로 옮겨진다. 회전은 도형을 그대로 밀고 돌리는 변환이므로 두 점 사이의 거리는 바뀌지 않는다. 따라서

$$\overline{AB}^2=(\cos(\alpha-\beta)-1)^2+\sin^2(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha-\beta)$$

두 식의 $\overline{AB}^2$가 같으므로

$$2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)=2-2\cos(\alpha-\beta)\ \Longrightarrow\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

여기에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 넣고 $\cos(-\beta)=\cos\beta,\ \sin(-\beta)=-\sin\beta$를 쓰면 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$를 얻는다.

$\sin$은 $\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta)$(단위원에서 $y$좌표와 $x$좌표가 대칭 관계라는 사실)를 이용해 얻는다.

$$\sin(\alpha+\beta)=\cos\big(90^\circ-(\alpha+\beta)\big)=\cos\big((90^\circ-\alpha)-\beta\big)=\cos(90^\circ-\alpha)\cos\beta+\sin(90^\circ-\alpha)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$\tan$은 $\tan=\sin/\cos$이므로 분자·분모를 $\cos\alpha\cos\beta$로 나누어 정리하면 $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$가 된다.

배각·반각·합성

덧셈정리에서 $\beta=\alpha$로 두면 배각공식을 얻는다. $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha,\quad \tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$에서 $\alpha=\theta/2$로 바꾸면 반각공식이 나온다. $$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$$

$\sin(\theta+\varphi)$($\varphi$는 '피'로 읽는다)의 덧셈정리를 거꾸로 이용하면 삼각함수의 합성을 얻는다: $a\sin\theta+b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\varphi)$, 단 $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

예시

$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

$\sin\theta+\sqrt3\cos\theta$는 $a=1,\ b=\sqrt3$이므로 $R=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\varphi=\tfrac12,\sin\varphi=\tfrac{\sqrt3}{2}$에서 $\varphi=60^\circ$. 즉 $\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin(\theta+60^\circ)$이다. 아래 그래프는 두 식이 실제로 같은 곡선임을 보여준다.

🌍 실생활 예시

교류(AC) 전기회로에서 전압과 전류는 시간에 대해 $\sin$ 함수 형태로 진동하는데, 두 회로 요소를 지날 때 위상이 서로 다른 두 사인파를 더해야 하는 경우가 많다. 이때 $a\sin\theta+b\cos\theta$ 형태로 나타나는 합을 삼각함수의 덧셈정리(합성)로 하나의 사인파 $R\sin(\theta+\varphi)$로 정리하면, 합쳐진 신호의 최대 진폭 $R$과 위상차 $\varphi$를 바로 계산할 수 있다.

⚠️ 흔한 실수

• $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta$로 착각: 다항식의 분배법칙처럼 생각하기 쉽지만 틀렸다. $\alpha=\beta=90^\circ$이면 $\sin180^\circ=0$인데 $\sin90^\circ+\sin90^\circ=2$로 전혀 다르다.
• $\cos$의 부호를 반대로 기억: $\cos(\alpha-\beta)$는 $+$, $\cos(\alpha+\beta)$는 $-$로, $\sin$의 부호 규칙과 정반대다. 이 둘을 섞어 쓰는 오류가 잦다.
• $\tan$ 덧셈공식의 분모가 0이 되는 경우를 놓침: $\alpha+\beta=90^\circ$이면 $1-\tan\alpha\tan\beta=0$이 되어 $\tan(\alpha+\beta)$ 자체가 정의되지 않는데, 공식만 기계적으로 적용해 값을 구하려는 실수를 한다.

확인 문제

1. $45^\circ-30^\circ$의 덧셈정리를 이용해 $\cos15^\circ$의 값을 구하여라.
2. 단위원 위의 두 점 $A(\cos\alpha,\sin\alpha)$, $B(\cos\beta,\sin\beta)$ 사이의 거리는 원 전체를 회전시켜도 변하지 않는다는 사실이 왜 $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$로 이어지는지, 유도 과정을 자신의 말로 다시 설명해 보아라.
3. $\tan\alpha=3,\ \tan\beta=\dfrac12$일 때 $\tan(\alpha+\beta)$의 값을 구하여라.

📜 역사

삼각함수의 덧셈정리에 해당하는 명제는 서기 2세기경 그리스 천문학자 프톨레마이오스가 쓴 《알마게스트》에 현(chord) 함수에 대한 형태로 이미 등장한다(오늘날 '프톨레마이오스의 정리'라 불리는 명제와 연결된다). 당시 천문학자들은 별과 행성의 위치를 계산하려면 여러 각을 더하거나 뺀 값의 삼각비가 필요했는데, 이를 표로 만들어 두는 것만으로는 모든 각을 감당할 수 없어 두 각의 값으로부터 계산하는 공식이 요구되었다. 이후 인도와 이슬람권의 수학자들이 현 대신 오늘날의 $\sin$에 해당하는 함수로 이 관계를 다듬었고, 유럽에서 $\sin,\cos$ 표기가 정착된 뒤에야 지금과 같은 형태로 굳어졌다.

관련 개념

• 삼각함수 — 이 공식에 등장하는 $\sin,\cos,\tan$의 정의
• 원 — 단위원 위의 점 좌표로 삼각함수를 나타내는 유도의 기반
• 평면좌표 — 두 점 사이의 거리 공식으로 유도할 때 사용
• 삼각방정식 — 덧셈·배각·반각 공식을 이용해 방정식을 정리하는 후속 개념