따라서 $\theta = 45° \left(=\dfrac{\pi}{4}\right)$이고,
$$1+i = \sqrt2\left(\cos45°+i\sin45°\right)$$
또 다른 예로 $z=-\sqrt3+i$는 $r=\sqrt{3+1}=2$, $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\theta=\dfrac12$이므로 $\theta=150°$, 즉
$$-\sqrt3+i = 2(\cos150°+i\sin150°)$$
이제 $z_1=\sqrt2(\cos45°+i\sin45°)$와 $z_2=2(\cos150°+i\sin150°)$를 곱하면 직교좌표로 전개하지 않고도
$$z_1z_2 = 2\sqrt2\{\cos195°+i\sin195°\}$$
임을 바로 알 수 있다.
🌍 실생활 예시
교류 전기 회로 해석에서는 전압과 전류를 복소수로 나타내는데, 크기(진폭)와 위상차(시간 지연)를 함께 다뤄야 하므로 극형식이 자연스럽게 쓰인다. 저항, 코일, 콘덴서를 지날 때 전압과 전류 사이에 위상이 얼마나 밀리는지를 편각으로, 세기의 변화를 절댓값으로 표현하면 회로의 곱셈·나눗셈 계산이 단순한 각도 덧셈·뺄셈으로 바뀌어 계산이 훨씬 쉬워진다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 편각을 구할 때 $\theta = \tan^{-1}\dfrac{b}{a}$ 값만 계산하고 끝낸다.
왜 틀렸는가: $\tan^{-1}$은 항상 $-90°$에서 $90°$ 사이의 값만 주므로, 점 $(a,b)$가 어느 사분면에 있는지 확인하지 않으면 각이 어긋난다. 예를 들어 $z=-1-i$는 $\dfrac{b}{a}=1$이라서 $\tan^{-1}1=45°$로 착각하기 쉽지만, 실제 점은 3사분면에 있으므로 편각은 $225°$이다.
잘못된 생각: 절댓값을 $r=a+b$처럼 그냥 두 성분의 합으로 계산한다.
왜 틀렸는가: 절댓값은 원점에서의 거리이므로 피타고라스 정리에 따라 $r=\sqrt{a^2+b^2}$이어야 한다. $z=3+4i$라면 $r=7$이 아니라 $r=\sqrt{9+16}=5$이다.
잘못된 생각: 극형식을 쓸 때 $\cos\theta+i\sin\theta$만 적고 앞의 $r$을 빠뜨린다.
왜 틀렸는가: $\cos\theta+i\sin\theta$는 항상 절댓값이 $1$인 복소수(단위원 위의 점)만 나타낸다. 원래 복소수의 크기 정보는 $r$이 담고 있으므로, $r$을 빠뜨리면 서로 다른 복소수를 같은 것으로 표현하는 오류가 생긴다.
확인 문제
$z=1-i$를 극형식 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$로 나타내어라.
$z_1=2+2i$, $z_2=-1+\sqrt3 i$를 각각 극형식으로 바꾼 뒤, 극형식끼리 곱해 $z_1z_2$의 편각을 구하라. 그리고 $z_1, z_2$를 직교좌표 그대로 곱한 결과와 절댓값·편각이 일치하는지 확인해 보라. 이 과정을 통해 "복소수의 곱셈이 회전과 확대의 합성"이라는 말이 왜 성립하는지 설명해 보라.
$z=4(\cos60°+i\sin60°)$를 $a+bi$ 꼴로 나타내어라.
정답 보기
$r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$, $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}$, $\sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}$이므로 $\theta=315°$. 따라서 $1-i=\sqrt2(\cos315°+i\sin315°)$.
$z_1=2\sqrt2(\cos45°+i\sin45°)$, $z_2=2(\cos120°+i\sin120°)$이므로 극형식으로 곱하면 절댓값 $4\sqrt2$, 편각 $165°$가 된다. 직교좌표로 직접 곱해도 $z_1z_2=(2+2i)(-1+\sqrt3i)=(-2-2\sqrt3)+(2\sqrt3-2)i$가 나오고, 이 점의 절댓값과 편각을 계산하면 정확히 $4\sqrt2$, $165°$와 일치한다. 즉 곱셈은 "두 회전을 이어 붙이고 두 크기를 곱하는" 하나의 기하학적 동작임을 알 수 있다.