# 오일러 공식

분야: 해석
학교급: 대학
교육과정: 정규 교육과정 외 — 지수함수와 삼각함수를 복소수에서 하나로 잇는 등식. 복소수의 극형식과 드무아브르의 정리가 왜 성립하는지를 한 줄로 설명한다.
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B3%B5%EC%8B%9D

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<!-- prereq: 자연상수 e, 삼각함수, 테일러 급수 -->

> 이 개념은 정규 교육과정 외의 내용으로, 지수함수와 삼각함수를 복소수 위에서 하나로 잇는 등식이다. 이 공식으로부터 복소수의 극형식과 드무아브르의 정리가 왜 성립하는지가 한 줄로 설명된다.

## 정의

실수 $\theta$에 대해 다음이 성립한다.

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

여기서 $i$는 $i^2 = -1$을 만족하는 허수단위이고, $\theta$는 라디안 단위의 각이다. 이 등식을 **오일러 공식**(Euler's formula)이라 한다. 특히 $\theta = \pi$를 대입하면 $e^{i\pi} = -1$, 즉

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

을 얻는데, 이를 **오일러 항등식**이라 부른다.

## 직관

복소평면에서 절댓값이 1인 복소수는 모두 원점을 중심으로 한 단위원 위에 있다. 오일러 공식은 "$\theta$만큼 회전한 위치"를 지수함수 $e^{i\theta}$로 표현할 수 있다는 뜻이다. 즉 $\theta$를 늘리는 것이 곱셈에서는 $e^{i\theta}$를 계속 곱하는 것과 같고, 그림에서는 단위원 위를 반시계 방향으로 도는 것과 같다. 복소수의 극형식 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$가 $z = re^{i\theta}$로 다시 쓰이는 이유, 그리고 두 복소수를 곱할 때 각이 더해지는 이유(드무아브르의 정리)도 결국 지수법칙 $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ 하나로 설명된다.

## 유도

테일러 급수에 따르면 실수 $x$에 대해 다음 세 급수가 성립한다.

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \quad \cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}, \quad \sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

$e^x$의 급수는 복소수 $x$에 대해서도 그대로 정의로 삼을 수 있다. $x = i\theta$를 대입해 보자.

$$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}$$

여기서 $i$의 거듭제곱은 $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\dots$ 로 주기 4로 반복된다. 항을 짝수 번째($n=2k$)와 홀수 번째($n=2k+1$)로 나누어 보면,

$$\frac{(i\theta)^{2k}}{(2k)!} = \frac{i^{2k}\theta^{2k}}{(2k)!} = \frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}, \qquad \frac{(i\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{i^{2k+1}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} = i\cdot\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

이 두 계산은 $i^{2k} = (i^2)^k = (-1)^k$, $i^{2k+1} = i^{2k}\cdot i$에서 나온다. 이제 짝수 항들을 모두 더하면 위의 $\cos\theta$ 급수와 정확히 같고, 홀수 항들을 모두 더하면 $i \times (\sin\theta\text{ 급수})$와 같다. 즉

$$e^{i\theta} = \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}}_{=\cos\theta} + i\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{=\sin\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

가 성립한다. 이로부터 두 각의 곱을 다루는 문제도 지수법칙만으로 풀린다: $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$이므로 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$, 이것이 드무아브르의 정리다.

## 성질

- 오일러 항등식: $e^{i\pi} + 1 = 0$
- 주기성: $e^{i\theta} = e^{i(\theta+2\pi)}$, $\left|e^{i\theta}\right| = 1$ (단위원 위)
- 코사인·사인의 지수 표현: $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
- 드무아브르의 정리: $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

## 예시

$\theta = \dfrac{\pi}{2}$일 때: $e^{i\pi/2} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + i\cdot 1 = i$

$\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때 세제곱 확인: $e^{i\pi/3} = \dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2}$이고, $\left(e^{i\pi/3}\right)^3 = e^{i\pi} = -1$이다. 실제로 $\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^3$을 직접 전개해도 $-1$이 나온다.

아래 그래프는 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$의 실수부($\cos x$)와 허수부($\sin x$)를 각각 보여준다.


그래프: y=cos(x), y=sin(x) (정의역 -6.5~6.5)


## 🌍 실생활 예시

전기공학에서 교류(AC) 회로의 전압·전류는 $V(t) = V_0\cos(\omega t + \phi)$처럼 시간에 따라 진동한다. 이런 신호를 다룰 때 미분·적분과 위상차 계산이 번거로운데, $V(t)$를 $V_0 e^{i(\omega t+\phi)}$의 실수부로 취급하는 **페이저(phasor)** 기법을 쓰면 미분이 $i\omega$를 곱하는 대수 연산으로 바뀌어 계산이 훨씬 간단해진다. 이 기법의 근거가 바로 오일러 공식이다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $e^{i\theta}$도 실수 지수함수처럼 $\theta$가 커지면 값이 무한히 커진다. → **왜 틀렸는지**: $\left|e^{i\theta}\right| = \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1$이 항상 성립해, $e^{i\theta}$는 절댓값이 1인 단위원 위만 돈다. 커지는 것은 값의 크기가 아니라 회전각뿐이다.
- **잘못된 생각**: 오일러 공식에 각도(°) 단위를 그대로 대입한다. → **왜 틀렸는지**: 유도 과정에서 쓴 $\sin x,\cos x,e^x$의 테일러 급수는 모두 라디안을 전제로 만들어졌다. $\theta=90$을 그대로 넣으면 안 되고 $\theta=\pi/2$로 바꿔야 한다.
- **잘못된 생각**: $e^{i\theta}=z$이면 $\theta = -i\ln z$ 하나만 답이라고 생각한다. → **왜 틀렸는지**: $e^{i\theta}$는 주기 $2\pi$를 가지므로 같은 $z$를 만드는 $\theta$는 $\theta_0 + 2\pi k$ ($k$는 정수) 모두이다. 복소로그는 다가함수라는 점을 놓치기 쉽다.

## 확인 문제

1. $e^{i2\pi/3}$의 값을 직접 계산하시오.
2. 오일러 공식을 이용해 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$(드무아브르의 정리)이 왜 단순히 지수법칙 $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$의 결과인지 설명하시오.
3. $e^{i\theta}$의 테일러 급수를 실제로 두 부분(짝수 차수, 홀수 차수)으로 나누어 $\cos\theta+i\sin\theta$가 나옴을 다시 계산으로 확인하시오.

정답 보기:

1. $\cos120^\circ + i\sin120^\circ = -\dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2}$
2. $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = (e^{i\theta})^n$이고, 거듭제곱은 같은 밑을 $n$번 곱한 것이므로 지수법칙에 의해 $e^{i\theta}\cdot e^{i\theta}\cdots e^{i\theta} = e^{i(\theta+\theta+\cdots+\theta)} = e^{in\theta} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$가 된다. 즉 드무아브르의 정리는 새로운 규칙이 아니라 지수법칙이 복소수에서도 성립한다는 사실의 결과다.
3. 유도 섹션과 같은 방식으로 $(i\theta)^n/n!$을 짝수 차수 항과 홀수 차수 항으로 나누면 짝수 항의 합은 $\cos\theta$의 급수, 홀수 항의 합은 $i\sin\theta$의 급수와 일치한다.



## 📜 역사

레온하르트 오일러는 지수함수와 삼각함수를 각각 무한급수로 표현하는 연구를 하던 중, 두 급수가 허수단위 $i$를 매개로 서로 얽혀 있다는 사실을 발견했다. 그는 1748년에 발표한 저서 《무한소 해석 입문》(Introductio in analysin infinitorum)에서 이 관계를 명시적으로 제시했다. 당시에는 복소수 자체가 아직 완전히 받아들여진 개념이 아니었기 때문에, 지수함수를 복소수로 확장할 수 있다는 이 결과는 해석학과 복소수론을 잇는 중요한 다리가 되었다. 이후 $\theta=\pi$를 대입한 $e^{i\pi}+1=0$은 수학에서 가장 중요한 다섯 상수($0,1,e,i,\pi$)를 한 식에 담은 항등식으로 널리 알려지게 되었다.

## 관련 개념

- 자연상수 e — 지수함수 $e^x$의 밑
- 삼각함수 — 공식의 우변을 이루는 $\cos\theta,\sin\theta$
- 테일러 급수 — 공식을 유도하는 핵심 도구
- 삼각함수의 덧셈정리 — 각의 합에 대한 공식으로, $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$와 대응된다
- 급수 — 무한급수를 다루는 배경 이론

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관련 개념:
- 테일러 급수 (/wiki/math/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B8%89%EC%88%98)
- 자연상수 e (/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98_e)
- 삼각함수 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98)
- 삼각함수의 덧셈정리 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EB%8D%A7%EC%85%88%EC%A0%95%EB%A6%AC)
- 급수 (/wiki/math/%EA%B8%89%EC%88%98)