이 개념은 제3차 교육과정부터 제6차 교육과정까지 고등학교 수학 교과에서 다루어졌으나, 제7차 교육과정에서 삭제되었다.
정의
복소평면(complex plane)이란 복소수 $z = a + bi$ ($a, b$는 실수, $i$는 허수단위로 $i^2 = -1$을 만족)를 좌표평면 위의 점 $(a, b)$에 대응시켜 나타낸 평면이다. 가로축을 실수축(real axis), 세로축을 허수축(imaginary axis)이라 하며, 이렇게 만들어진 평면을 가우스 평면(Gauss plane)이라고도 부른다.
복소수 $z = a+bi$에 대응하는 점을 $\mathrm{P}(a, b)$라 하면, 원점 $\mathrm{O}$에서 점 $\mathrm{P}$까지의 거리를 $z$의 절댓값이라 하고 $|z|$(절댓값 z 또는 모듈러스라 읽는다)로 나타낸다.
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
또한 실수축의 양의 방향과 선분 $\mathrm{OP}$가 이루는 각을 $z$의 편각이라 하고 $\arg z$(아그 z라 읽는다)로 나타낸다.
직관
실수는 수직선이라는 1차원 직선 위의 점 하나로 나타낼 수 있지만, 복소수는 실수부와 허수부라는 두 개의 실수 정보를 가지고 있으므로 평면 위의 점으로 나타내야 한다. 즉 복소평면은 "복소수를 위한 좌표평면"이다.
복소평면은 겉보기에는 평면좌표와 똑같아 보이지만, 결정적인 차이가 있다. 좌표평면의 점은 그냥 위치일 뿐이지만, 복소평면의 점 $z$는 벡터처럼 크기($|z|$)와 방향($\arg z$)을 가진 대상으로 다룰 수 있다. 특히 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈(평행사변형 법칙)과 완전히 같은 그림으로 이해할 수 있다.
성질
대응: $z = a+bi \iff$ 점 $(a, b)$
절댓값: $|z|$는 원점으로부터 점 $z$까지의 거리
두 점 사이의 거리: 두 복소수 $z_1, z_2$에 대응하는 두 점 사이의 거리는 $|z_1 - z_2|$
덧셈과 뺄셈: $z_1 + z_2$에 대응하는 점은 $z_1, z_2$에 대응하는 두 벡터의 합으로 얻어지는 점
켤레복소수: $\bar{z} = a - bi$(z 바, z의 켤레복소수라 읽는다)에 대응하는 점은 $z$에 대응하는 점을 실수축에 대하여 대칭이동한 점
예시
$z_1 = 3 + 4i$, $z_2 = 1 - 2i$일 때
$z_1$에 대응하는 점은 $(3, 4)$이고, $|z_1| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$
$z_1 + z_2 = (3+1) + (4-2)i = 4 + 2i$이므로 대응하는 점은 $(4, 2)$이며, 이는 점 $(3,4)$와 점 $(1,-2)$가 만드는 평행사변형의 나머지꼭짓점과 일치한다.
두 점 사이의 거리는 $|z_1 - z_2| = |2 + 6i| = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
🌍 실생활 예시
전기공학에서 교류(AC) 회로를 분석할 때, 전압·전류·임피던스를 복소평면 위의 점(페이저, phasor)으로 나타낸다. 저항은 실수축 위의 값, 코일이나 콘덴서에 의한 위상 지연·진행은 허수부로 표현되므로, 복잡한 삼각함수 계산 대신 복소수의 덧셈·곱셈만으로 회로의 전체 임피던스와 위상차를 간단히 구할 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $z = a+bi$의 절댓값을 $|z| = a+b$로 계산한다. → 왜 틀렸는가: 절댓값은 원점에서 점 $(a,b)$까지의 직선 거리이므로 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{a^2+b^2}$이어야 한다. $a+b$는 두 좌표를 그냥 더한 값일 뿐 거리가 아니다.
잘못된 생각: 두 복소수의 대소를 실수처럼 $z_1 < z_2$로 비교할 수 있다. → 왜 틀렸는가: 복소수는 평면 위의 점이므로 크기 순서(대소 관계)가 정의되지 않는다. 비교하려면 반드시 절댓값 $|z_1|, |z_2|$처럼 실수로 바꾼 값끼리 비교해야 한다.
잘못된 생각: 켤레복소수 $\bar{z}$에 대응하는 점은 원점에 대해 대칭이다. → 왜 틀렸는가: $\bar{z} = a - bi$는 허수부의 부호만 바뀌므로 실수축에 대한 대칭이다. 원점 대칭이 되려면 $-z = -a-bi$처럼 실수부와 허수부의 부호가 모두 바뀌어야 한다.
확인 문제
$z = -2 + 5i$를 복소평면 위에 나타낼 때 대응하는 점의 좌표와 $|z|$를 구하시오.
$z_1 = 2+i$, $z_2 = -1+3i$일 때, $z_1+z_2$에 대응하는 점을 복소평면에 그려 보고, 이것이 $z_1$과 $z_2$에 대응하는 두 벡터로 만든 평행사변형의 꼭짓점과 같은 이유를 설명하시오.
복소평면 위의 점 $z$가 $|z - 1| = 2$를 만족할 때, 점 $z$ 전체가 그리는 도형은 무엇인지 말하시오. (힌트: $|z-1|$은 두 점 사이의 거리이다.)
정답 보기
점 $(-2, 5)$, $|z| = \sqrt{(-2)^2+5^2} = \sqrt{29}$
$z_1+z_2 = 1+4i$이므로 대응하는 점은 $(1,4)$. 복소수의 덧셈은 실수부끼리, 허수부끼리 각각 더하는 것인데, 이는 좌표평면에서 두 벡터 $(2,1)$과 $(-1,3)$의 성분을 각각 더해 합벡터 $(1,4)$를 구하는 것과 정확히 같은 계산이므로, 그림으로도 평행사변형의 대각선 꼭짓점이 된다.
$|z-1|$은 점 $z$와 점 $1(=1+0i)$ 사이의 거리이므로, 이 거리가 항상 $2$인 점들의 집합은 점 $(1,0)$을 중심으로 하고 반지름이 $2$인 원이다.