이 개념은 수열의 모든 항을 더한 식과 그 합의 수렴·발산을 다룬다.
수열 $\{a_n\}$의 각 항을 차례로 덧셈 기호로 연결한 식
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$$
을 급수라 하고, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ($\sum$은 시그마라 읽으며, $n$이 $1$부터 $\infty$(무한대)까지 변하는 항을 모두 더한다는 뜻이다)로 나타낸다.
급수의 첫째 항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n$을 이 급수의 부분합이라 한다. 수열 $\{S_n\}$이 어떤 값 $S$로 수렴하면, 즉 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S$이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 $S$에 수렴한다고 하고, $S$를 이 급수의 합이라 한다. $\{S_n\}$이 발산하면 급수도 발산한다고 한다.
급수는 "끝없이 더하기"다. 끝없이 더하는데 유한한 값에 다가갈 수 있다는 게 이상하게 느껴질 수 있는데, 한 변의 길이가 $1$인 정사각형을 절반씩 계속 나누어 칠한다고 생각하면 된다. $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$처럼 매번 남은 부분의 절반만 더해 가면, 아무리 더해도 전체 넓이 $1$을 넘지 못하고 $1$에 한없이 가까워진다. 급수의 수렴은 바로 이 "부분합이 특정 값에 다가가는 상태"를 뜻하며, 급수 자체가 아니라 부분합으로 이루어진 새로운 수열 $\{S_n\}$의 극한을 보는 것이 핵심이다.
등비급수: 첫째항 $a$ ($a\neq0$), 공비 $r$인 등비수열의 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$은
수렴의 필요조건: 급수 $\sum a_n$이 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이다. 단, 역은 성립하지 않는다 (아래 흔한 실수 참고).
선형성: 두 급수 $\sum a_n$, $\sum b_n$이 각각 수렴하면 $\sum(a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$이고, 상수 $k$에 대해 $\sum ka_n = k\sum a_n$이다.
등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} = 1+\frac12+\frac14+\cdots$은 $a=1$, $r=\frac12$이고 $|r|<1$이므로 수렴하며, 합은 $\dfrac{1}{1-\frac12}=2$이다.
반면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n = 1+\frac12+\frac13+\cdots$ (조화급수)은 $a_n=\frac1n \to 0$이지만 부분합이 한없이 커져 발산한다.
부분합이 특정 값에 다가가는 모습은 그래프로도 확인할 수 있다. 아래는 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}}$의 부분합을 연속변수로 근사한 함수 $S(x)=\dfrac{1-0.5^x}{1-0.5}$의 그래프로, $x$가 커질수록 $2$에 가까워짐을 보여준다.