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이 개념은 수열의 모든 항을 더한 식과 그 합의 수렴·발산을 다룬다.
수열 $\{a_n\}$의 각 항을 차례로 덧셈 기호로 연결한 식
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$$
을 급수라 하고, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ($\sum$은 시그마라 읽으며, $n$이 $1$부터 $\infty$(무한대)까지 변하는 항을 모두 더한다는 뜻이다)로 나타낸다.
급수의 첫째 항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n$을 이 급수의 부분합이라 한다. 수열 $\{S_n\}$이 어떤 값 $S$로 수렴하면, 즉 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S$이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 $S$에 수렴한다고 하고, $S$를 이 급수의 합이라 한다. $\{S_n\}$이 발산하면 급수도 발산한다고 한다.
급수는 "끝없이 더하기"다. 끝없이 더하는데 유한한 값에 다가갈 수 있다는 게 이상하게 느껴질 수 있는데, 한 변의 길이가 $1$인 정사각형을 절반씩 계속 나누어 칠한다고 생각하면 된다. $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$처럼 매번 남은 부분의 절반만 더해 가면, 아무리 더해도 전체 넓이 $1$을 넘지 못하고 $1$에 한없이 가까워진다. 급수의 수렴은 바로 이 "부분합이 특정 값에 다가가는 상태"를 뜻하며, 급수 자체가 아니라 부분합으로 이루어진 새로운 수열 $\{S_n\}$의 극한을 보는 것이 핵심이다.
무한히 많은 수를 어떻게 더할 것인가부터 막힌다. 수열의 극한에서 배운 것은 수열 $\{a_n\}$의 항 $a_n$ 하나가 $n\to\infty$일 때 어디로 다가가는지였지, "$a_1+a_2+a_3+\cdots$를 전부 더한 값"을 구하는 방법이 아니다. 덧셈은 유한 번만 정의되어 있으므로 $a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$처럼 항이 끝없이 이어지는 식은 그 자체로는 값이 정해지지 않는다.
이 막힘을 뚫는 방법은 "무한히 더한 결과"를 직접 정의하는 대신, 유한 번 더한 값들의 극한으로 바꿔치기하는 것이다. 즉 $n$항까지의 부분합 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$은 유한 개의 수를 더한 것이므로 항상 값이 존재하고, $\{S_n\}$은 이미 다룰 줄 아는 하나의 수열이 된다. 이 수열 $\{S_n\}$에 수열의 극한을 그대로 적용해 $\lim_{n\to\infty}S_n$이 존재하면 그 값을 급수의 합으로 삼는다. 급수의 정의가 "부분합의 극한"인 이유가 바로 여기에 있다.
이 정의가 실제로 어떻게 작동하는지 등비수열 $a_n=ar^{n-1}$의 경우로 확인해 보자. 부분합은
$$S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}$$
인데, 이 식은 항이 $n$개인 유한합이므로 실제로 계산할 수 있다. 양변에 $r$을 곱하면
$$rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n$$
이고, 두 식을 빼면 중간 항들이 모두 지워져
$$S_n-rS_n=a-ar^n \quad\Longrightarrow\quad (1-r)S_n=a(1-r^n)$$
이 된다. $r\neq1$이면 양변을 $1-r$로 나눠
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
를 얻는다. 이제 이 식에 $n\to\infty$의 극한을 취하면 남은 일은 $r^n$의 극한뿐이다. $|r|<1$이면 수열의 극한에 의해 $r^n\to0$이므로
$$S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a(1-0)}{1-r}=\frac{a}{1-r}$$
이 되어 등비급수의 합 공식이 나온다. 반대로 $|r|\geq1$이면 $r^n$이 $0$으로 가지 않거나 발산하므로 $S_n$도 수렴하지 않고, 급수는 발산한다. 이렇게 "부분합의 극한"이라는 정의를 그대로 계산에 적용하면 등비급수의 합 공식이 자연스럽게 따라 나온다.
등비급수: 첫째항 $a$ ($a\neq0$), 공비 $r$인 등비수열의 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$은
수렴의 필요조건: 급수 $\sum a_n$이 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이다. 단, 역은 성립하지 않는다 (아래 흔한 실수 참고).
선형성: 두 급수 $\sum a_n$, $\sum b_n$이 각각 수렴하면 $\sum(a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$이고, 상수 $k$에 대해 $\sum ka_n = k\sum a_n$이다.
등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} = 1+\frac12+\frac14+\cdots$은 $a=1$, $r=\frac12$이고 $|r|<1$이므로 수렴하며, 합은 $\dfrac{1}{1-\frac12}=2$이다.
반면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n = 1+\frac12+\frac13+\cdots$ (조화급수)은 $a_n=\frac1n \to 0$이지만 부분합이 한없이 커져 발산한다.
부분합이 특정 값에 다가가는 모습은 그래프로도 확인할 수 있다. 아래는 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}}$의 부분합을 연속변수로 근사한 함수 $S(x)=\dfrac{1-0.5^x}{1-0.5}$의 그래프로, $x$가 커질수록 $2$에 가까워짐을 보여준다.
공을 일정한 높이 $h$에서 떨어뜨리면 바닥에 튕길 때마다 직전 높이의 일정한 비율 $r$ ($0<r<1$)만큼만 다시 튀어 오르다가 결국 멈추는 경우를 생각해 보자. 공이 멈출 때까지 움직인 전체 거리는 처음 떨어진 거리 $h$에, 튕겨 올라갔다가 다시 내려오는 거리 $2hr, 2hr^2, 2hr^3,\dots$를 모두 더한 값이다. 이는
$$h+2hr+2hr^2+2hr^3+\cdots = h+2hr(1+r+r^2+\cdots) = h+\frac{2hr}{1-r}$$
처럼 등비급수의 합 공식으로 정리되며, 공학·물리에서 반복되는 감쇠 운동의 총량을 구할 때 이런 등비급수 계산이 실제로 쓰인다.
무한히 많은 항을 더하는 문제는 고대 그리스에서부터 다루어졌다. 아르키메데스는 기원전 3세기 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면서, 점점 작아지는 삼각형들의 넓이를 등비급수 형태로 더하는 방법을 사용했다. 14세기 프랑스의 수학자 니콜 오렘은 조화급수 $1+\frac12+\frac13+\cdots$가 항이 $0$에 가까워짐에도 불구하고 발산한다는 사실을 증명해, "각 항이 $0$으로 가면 급수도 수렴한다"는 직관이 틀렸음을 처음으로 명확히 보였다. 17세기 이후 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 정립하면서 급수는 함수를 다루는 핵심 도구로 널리 쓰이게 되었고, 19세기에 이르러 코시가 부분합의 극한으로 급수의 수렴을 엄밀하게 정의하면서 오늘날 교과서에서 쓰는 형태로 정착했다.