$(a+b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)$($n$개)를 전개한다고 생각해 보자. 각 괄호에서 $a$ 또는 $b$ 중 하나를 골라 곱해서 더하는 것이므로, $b$를 정확히 $r$개 고르는 방법의 수가 곧 $a^{n-r}b^r$이 나오는 항의 계수가 된다. $n$개의 괄호 중 "$b$를 뽑을 자리 $r$개"를 고르는 방법의 수가 바로 ${}_nC_r$이다. 즉 이항정리는 곱셈을 일일이 전개하지 않고 조합의 개수만으로 계수를 바로 알려주는 도구다.
동전을 $n$번 던졌을 때 앞면이 정확히 $r$번 나올 경우의 수는 ${}_nC_r$이다. 예를 들어 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 정확히 4번 나올 조합의 수는 ${}_{10}C_4 = 210$가지이며, 이는 확률을 계산하는 이항분포의 핵심 재료가 된다. 여론조사나 품질검사에서 "$n$번 시행 중 성공이 $r$번 나올 확률"을 구할 때 이항정리의 계수 구조가 그대로 쓰인다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $(a-b)^n$도 그냥 $(a+b)^n$과 같은 계수로 전개하면 된다.
왜 틀렸는지: $(a-b)^n = (a+(-b))^n$이므로 일반항이 ${}_nC_r a^{n-r}(-b)^r$이 되어 $r$이 홀수일 때 부호가 음수로 바뀐다. 부호를 빠뜨리면 틀린 전개식이 나온다.
잘못된 생각: 일반항 $T_{r+1}$을 $T_r$로 착각해서 $r$번째 항이라고 쓴다.
왜 틀렸는지: $r=0$일 때가 첫 번째 항이므로 $r$번째가 아니라 $(r+1)$번째 항이다. 특정 항의 계수를 구할 때 $r$ 값을 하나 밀려서 대입하는 실수가 흔하다.
잘못된 생각: ${}_nC_r$과 ${}_nP_r$(엔 피 알)을 혼동해서 순서를 고려한 값을 계수로 쓴다.
왜 틀렸는지: 이항계수는 "어느 자리에서 $b$를 뽑을지"만 정하는 조합이지, 뽑은 후 순서를 매기는 것이 아니다. ${}_nC_r = \dfrac{{}_nP_r}{r!}$ 관계를 잊으면 계수가 훨씬 커진다.
$(1+1)^n$의 전개식은 $n$개의 원소로 이루어진 집합에서 원소를 몇 개 고를지(0개, 1개, …, $n$개)에 따라 만들 수 있는 부분집합의 개수를 모두 더한 것과 같다. $n$개 원소 각각을 "포함/불포함" 2가지로 선택할 수 있으므로 전체 경우의 수는 $2^n$이고, 이를 뽑는 개수별로 나눠 세면 ${}_nC_0+{}_nC_1+\cdots+{}_nC_n$이 된다. 즉 두 표현은 같은 것을 두 가지 방법으로 센 것이다.