서로 다른 $n$개에서 $r$개를 골라 순서 있게 나열하는 것을 순열이라 하고, 그 가짓수를 $_nP_r$로 쓴다:
$$_nP_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$$
특히 $n$개 전부를 나열하는 가짓수는 $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$이다.
경우의 수의 곱의 법칙을 "자리 채우기"에 적용한 것이다. 첫 자리에 올 수 있는 것이 $n$가지, 다음 자리는 하나가 빠져 $n-1$가지, … 이렇게 $r$개의 자리를 채우면 곱셈이 자연히 나온다. 핵심은 순서가 다르면 다른 결과로 센다는 것 — 금·은·동 시상처럼 "누가 어느 자리인가"가 중요한 상황이 순열이다.
순열에서 학생들이 자주 멈추는 지점은 "순서를 고려한다"가 정확히 무슨 뜻인가다. 같은 사람을 뽑았어도 자리가 다르면 다른 경우로 센다는 말이다. $3$명 중 회장·부회장을 뽑을 때 "A가 회장, B가 부회장"과 "B가 회장, A가 부회장"은 뽑힌 사람은 똑같지만 역할이 달라 서로 다른 결과다. 이렇게 자리(순서)에 이름표가 붙어 있으면 순열이다.
이때 흔히 하는 착각이 순열과 조합을 문제 유형으로 통째 외우려는 것이다. 그보다 "뽑고 나서 자리(순서)를 구분하나?"라는 질문 하나만 던지면 된다. 회장·부회장은 자리를 구분하니 순열, 그냥 대표 $2$명은 자리 구분이 없으니 조합이다. 같은 "$2$명 뽑기"라도 이 질문의 답에 따라 가짓수가 달라진다.
한 가지 더, $n!$이 얼마나 빠르게 커지는지도 감을 잡아두면 좋다. $5$명을 한 줄로 세우는 방법이 벌써 $120$가지다. 사람이 하나 늘 때마다 앞의 결과에 그 수를 통째로 곱하기 때문에, 줄 세우기 경우의 수는 순식간에 커진다.
MATH의 네 글자로 만들 수 있는 배열: $4! = 24$가지