# 이항정리 분야: 확률통계 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EC%A0%95%EB%A6%AC --- ## 정의 자연수 $n$에 대하여 $(a+b)^n$을 전개하면 다음과 같다. $$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r\, a^{n-r}b^r = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_nC_n b^n$$ 이 전개식을 **이항정리**라 하고, 여기서 $\sum$(시그마, 합을 나타내는 기호)의 각 항의 계수 ${}_nC_r$(엔 씨 알, $n$개 중 $r$개를 뽑는 조합의 수)을 **이항계수**라 한다. 전개식의 $(r+1)$번째 항 $$T_{r+1} = {}_nC_r\, a^{n-r}b^r$$ 을 **일반항**이라 한다. ## 직관 $(a+b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)$($n$개)를 전개한다고 생각해 보자. 각 괄호에서 $a$ 또는 $b$ 중 하나를 골라 곱해서 더하는 것이므로, $b$를 정확히 $r$개 고르는 방법의 수가 곧 $a^{n-r}b^r$이 나오는 항의 계수가 된다. $n$개의 괄호 중 "$b$를 뽑을 자리 $r$개"를 고르는 방법의 수가 바로 ${}_nC_r$이다. 즉 이항정리는 곱셈을 일일이 전개하지 않고 조합의 개수만으로 계수를 바로 알려주는 도구다. ## 성질 - **대칭성**: ${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$이므로 전개식의 계수는 좌우 대칭이다. - **계수의 합**: $a=b=1$을 대입하면 $2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \cdots + {}_nC_n$ - **교대합**: $a=1, b=-1$을 대입하면 $0 = {}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - \cdots$ (단, $n \geq 1$) - **파스칼의 삼각형**: ${}_nC_r$을 삼각형 모양으로 배열하면 각 수는 바로 위 두 수의 합과 같다 (${}_{n-1}C_{r-1} + {}_{n-1}C_r = {}_nC_r$). ## 예시 $(x+1)^4$을 전개해 보자. $n=4$이므로 $$(x+1)^4 = {}_4C_0 x^4 + {}_4C_1 x^3 + {}_4C_2 x^2 + {}_4C_3 x + {}_4C_4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$$ 이번엔 $(2x-1)^5$의 전개식에서 $x^3$의 계수를 구해 보자. 일반항은 $$T_{r+1} = {}_5C_r (2x)^{5-r}(-1)^r$$ $x^3$이 나오려면 $5-r=3$, 즉 $r=2$이다. 따라서 계수는 $${}_5C_2 \cdot 2^3 \cdot (-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80$$ ## 🌍 실생활 예시 동전을 $n$번 던졌을 때 앞면이 정확히 $r$번 나올 경우의 수는 ${}_nC_r$이다. 예를 들어 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 정확히 4번 나올 조합의 수는 ${}_{10}C_4 = 210$가지이며, 이는 확률을 계산하는 이항분포의 핵심 재료가 된다. 여론조사나 품질검사에서 "$n$번 시행 중 성공이 $r$번 나올 확률"을 구할 때 이항정리의 계수 구조가 그대로 쓰인다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $(a-b)^n$도 그냥 $(a+b)^n$과 같은 계수로 전개하면 된다. **왜 틀렸는지**: $(a-b)^n = (a+(-b))^n$이므로 일반항이 ${}_nC_r a^{n-r}(-b)^r$이 되어 $r$이 홀수일 때 부호가 음수로 바뀐다. 부호를 빠뜨리면 틀린 전개식이 나온다. - **잘못된 생각**: 일반항 $T_{r+1}$을 $T_r$로 착각해서 $r$번째 항이라고 쓴다. **왜 틀렸는지**: $r=0$일 때가 첫 번째 항이므로 $r$번째가 아니라 $(r+1)$번째 항이다. 특정 항의 계수를 구할 때 $r$ 값을 하나 밀려서 대입하는 실수가 흔하다. - **잘못된 생각**: ${}_nC_r$과 ${}_nP_r$(엔 피 알)을 혼동해서 순서를 고려한 값을 계수로 쓴다. **왜 틀렸는지**: 이항계수는 "어느 자리에서 $b$를 뽑을지"만 정하는 조합이지, 뽑은 후 순서를 매기는 것이 아니다. ${}_nC_r = \dfrac{{}_nP_r}{r!}$ 관계를 잊으면 계수가 훨씬 커진다. ## 확인 문제 1. $(x+2)^3$을 이항정리를 이용해 전개하시오. 2. $a=b=1$을 $(a+b)^n$에 대입하면 왜 $2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \cdots + {}_nC_n$이 성립하는지, 조합의 의미(부분집합의 개수)와 연결지어 설명하시오. 3. $(x^2-1)^6$의 전개식에서 $x^8$의 계수를 구하시오. 정답 보기: 1. $(x+2)^3 = {}_3C_0x^3 + {}_3C_1x^2\cdot2 + {}_3C_2x\cdot4 + {}_3C_3\cdot8 = x^3+6x^2+12x+8$ 2. $(1+1)^n$의 전개식은 $n$개의 원소로 이루어진 집합에서 원소를 몇 개 고를지(0개, 1개, …, $n$개)에 따라 만들 수 있는 부분집합의 개수를 모두 더한 것과 같다. $n$개 원소 각각을 "포함/불포함" 2가지로 선택할 수 있으므로 전체 경우의 수는 $2^n$이고, 이를 뽑는 개수별로 나눠 세면 ${}_nC_0+{}_nC_1+\cdots+{}_nC_n$이 된다. 즉 두 표현은 같은 것을 두 가지 방법으로 센 것이다. 3. 일반항 $T_{r+1} = {}_6C_r (x^2)^{6-r}(-1)^r = {}_6C_r x^{12-2r}(-1)^r$에서 $12-2r=8$이면 $r=2$. 계수는 ${}_6C_2(-1)^2 = 15$. ## 관련 개념 - 조합 — 이항계수 ${}_nC_r$의 정의 자체가 조합의 수다. - 다항식 — 이항정리는 다항식 $(a+b)^n$의 전개를 다루는 정리다. - 곱셈 공식 — $n=2, 3$일 때의 이항정리는 곱셈 공식과 일치한다. - 이항분포 — 이항정리의 계수가 확률변수의 확률분포를 결정한다. - 수학적 귀납법 — 이항정리는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. --- 관련 개념: - 조합 (/wiki/math/%EC%A1%B0%ED%95%A9) - 이항분포 (/wiki/math/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EB%B6%84%ED%8F%AC) - 순열 (/wiki/math/%EC%88%9C%EC%97%B4) - 다항식 (/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D) - 곱셈 공식 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88_%EA%B3%B5%EC%8B%9D) - 수학적 귀납법 (/wiki/math/%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81_%EA%B7%80%EB%82%A9%EB%B2%95)