파스칼의 삼각형

확률통계 중등 · 교육과정: 이항계수를 삼각형으로 쌓아 배열한 표. 조합의 값과 이항정리를 눈으로 확인하게 해 준다. · v1 · 🤖 LLM 버전

이 개념은 이항계수를 삼각형 모양으로 쌓아 배열한 표로, 조합의 값과 이항정리의 계수를 눈으로 확인하게 해 준다.

정의

파스칼의 삼각형은 맨 위에 $1$을 놓고, 각 줄의 양 끝은 항상 $1$로 두며, 그 사이의 수는 바로 위 두 수를 더해서 채워 나가는 삼각형 모양의 수 배열이다.

$$1$$ $$1\quad 1$$ $$1\quad 2\quad 1$$ $$1\quad 3\quad 3\quad 1$$ $$1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1$$

맨 위 줄을 $0$번째 줄로 세면, $n$번째 줄의 수들은 $(a+b)^n$을 전개했을 때 나오는 계수와 정확히 일치한다.

직관

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$처럼 인수분해 단원에서 배운 곱셈 공식을 떠올려 보자. 지수가 커질수록 전개했을 때 계수가 어떻게 변하는지 매번 직접 곱해서 구하기는 번거롭다. 파스칼의 삼각형은 이 계수들이 어떤 규칙(위 두 수를 더한다)으로 다음 줄로 이어지는지를 눈으로 바로 보여 주는 표다. 즉 "곱셈을 반복하는 대신 덧셈만 반복해서" 전개식의 계수를 얻는 지름길인 셈이다.

유도

전개식 $(a+b)^0, (a+b)^1, (a+b)^2, \dots$를 직접 계산하며 규칙을 찾아보자.

$$(a+b)^0 = 1$$ $$(a+b)^1 = a+b$$ $$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+2ab+b^2$$ $$(a+b)^3 = (a^2+2ab+b^2)(a+b) = a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

세 번째 줄에서 네 번째 줄로 넘어가는 계산을 자세히 보면, $a^2b$의 계수 $3$은 $(a^2\cdot b)$에서 온 $1$과 $(2ab\cdot a)$에서 온 $2$의 합이다. 마찬가지로 $ab^2$의 계수 $3$도 $(2ab\cdot b)$에서 온 $2$와 $(b^2\cdot a)$에서 온 $1$의 합이다.

일반적으로 $(a+b)^n$을 전개했을 때 $a^{n-k}b^k$의 계수를 $c_k$라 하면, $(a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)$이므로

$$(a+b)^{n+1} = \sum_k c_k a^{n-k+1}b^k + \sum_k c_k a^{n-k}b^{k+1}$$

이다. 이 두 합에서 $a^{n+1-j}b^j$ 항을 만드는 경우는 첫 번째 합에서 $k=j$일 때(계수 $c_j$), 두 번째 합에서 $k=j-1$일 때(계수 $c_{j-1}$)뿐이다. 따라서

$$a^{n+1-j}b^j\text{의 계수} = c_{j-1}+c_j$$

가 되어, 다음 줄의 수는 항상 바로 위 두 수의 합이 된다. 이것이 파스칼의 삼각형의 "위 두 수를 더한다"는 규칙이 하필 그 모양인 이유다.

성질

• 대칭성: 각 줄은 좌우가 대칭이다. 이는 $(a+b)^n$에서 $a$와 $b$의 역할을 바꾸어도 식이 같기 때문이다.
• 줄의 합: $n$번째 줄의 모든 수를 더하면 $2^n$이 된다. $a=b=1$을 대입하면 $(1+1)^n=2^n$이 전개식 계수의 합과 같아지기 때문이다.
• 고등학교에서는 $n$번째 줄의 $k$번째 수(왼쪽에서 $0$번째부터 셈)를 $_nC_k$(엔 씨 케이라고 읽는다, "$n$개 중 $k$개를 고르는 조합의 수")로 나타내고, 이 관계를 이항정리라고 배운다.

예시

$(x+y)^4$을 전개해 보자. $4$번째 줄은 $1, 4, 6, 4, 1$이므로

$$(x+y)^4 = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$

$(x-y)^3$처럼 부호가 있는 경우도 절댓값 계수는 같은 삼각형에서 가져오되, $-y$를 대입한 것이므로 부호가 번갈아 나온다.

$$(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$$

🌍 실생활 예시

동전을 여러 번 던졌을 때 앞면이 몇 번 나올지 세는 문제에 파스칼의 삼각형이 그대로 쓰인다. 동전을 $4$번 던진다면, 앞면이 정확히 $2$번 나오는 경우의 수는 $4$번째 줄의 세 번째 수인 $6$가지다. 실제로 (HHHH), (HHHT) 등 순서를 하나씩 나열해 보면 앞면 $2$개·뒷면 $2$개인 배열이 정확히 $6$가지임을 확인할 수 있다.

⚠️ 흔한 실수

• 부호를 빠뜨리는 실수: $(a-b)^n$을 전개할 때 삼각형의 수만 그대로 옮겨 쓰고 부호를 바꾸지 않는 경우가 많다. $b$ 대신 $-b$가 들어간 것이므로 $b$의 거듭제곱이 홀수인 항은 부호가 음수가 되어야 한다.
• 줄 번호를 잘못 세는 실수: 맨 위 $1$을 "$1$번째 줄"로 세느냐 "$0$번째 줄"로 세느냐를 헷갈려 $(a+b)^n$의 계수를 찾을 때 한 줄씩 어긋나는 경우가 많다. 맨 위 $1$은 $(a+b)^0$의 계수, 즉 $0$번째 줄이다.
• 더하는 방향 착각: 각 수를 "옆에 있는 두 수의 합"으로 착각하는 경우가 있다. 규칙은 항상 바로 위 두 수를 더하는 것이다.

확인 문제

1. $5$번째 줄(맨 위 $1$을 $0$번째 줄로 셈)의 수를 모두 써 보고, 이를 이용해 $(x+y)^5$을 전개하라.
2. $n$번째 줄의 모든 수의 합이 $2^n$이 되는 이유를, "동전을 $n$번 던졌을 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 $2^n$가지이고 이는 앞면이 $0,1,\dots,n$번 나오는 경우들을 다 더한 것"이라는 사실과 연결해서 설명하라.
3. 파스칼의 삼각형에서 $4$번째 줄의 두 번째 수와 $5$번째 줄의 세 번째 수 중 어느 것이 더 큰지, 직접 두 줄을 그려 비교하라.

📜 역사

이항계수를 삼각형 모양으로 배열하는 방법은 파스칼 이전에도 여러 문명에서 독립적으로 발견되었다. 중국에서는 13세기 수학자 양휘(楊輝)가 이러한 표를 다루어 지금도 중국에서는 이를 '양휘의 삼각형'이라 부르며, 그 밖에 페르시아와 인도의 수학자들도 비슷한 표를 남겼다. 프랑스의 블레즈 파스칼은 17세기에 도박에서 판돈을 어떻게 나누어야 공정한지를 두고 페르마와 편지를 주고받으며 확률을 연구했고, 그 과정에서 이 삼각형의 성질을 체계적으로 정리한 논문을 남겼다. 이후 유럽에서 그의 이름을 따 '파스칼의 삼각형'이라는 이름이 널리 굳어졌다.

관련 개념

• 인수분해: $(a+b)^2$, $(a+b)^3$ 같은 곱셈 공식이 파스칼의 삼각형의 출발점이다.
• 경우의 수: 삼각형의 각 수는 특정 조건을 만족하는 경우의 수와 같다.
• 조합: 고등학교에서는 삼각형의 각 수를 $_nC_k$로 나타낸다.
• 이항정리: 파스칼의 삼각형은 이항정리의 계수를 눈으로 보여 주는 표다.
• 확률: 동전 던지기 등에서 특정 결과가 나올 경우의 수를 셀 때 쓰인다.