어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우가 $n$가지이고 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $A$가 일어나는 경우가 $a$가지이면 사건 $A$의 확률은:
$$P(A) = \frac{a}{n} = \frac{사건\ A가\ 일어나는\ 경우의\ 수}{모든\ 경우의\ 수}$$
$P$는 확률을 뜻하는 probability의 첫 글자로, $P(A)$는 "사건 $A$의 확률"이라 읽는다.
일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간 $S$, 그 부분집합을 사건 $A$라 하고, 확률을 $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$로 쓴다. $n(A)$는 집합 $A$의 원소의 개수다.
확률은 "가능성을 $0$과 $1$ 사이의 수로 재는 자"다. 정의의 전제 — 각 경우가 똑같이 일어날 만하다(등확률) — 가 핵심이어서, 주사위 눈처럼 대칭적인 상황에서만 "경우의 수 나누기"가 정당하다. 시행을 무한히 반복할 때 상대도수가 다가가는 값(통계적 확률)이 이 수와 일치한다는 것이 큰 수의 법칙이다.
확률에서 가장 흔한 함정은 **"경우의 수만 세서 나누면 확률"**이라고 무조건 믿는 것이다. 이 방법은 각 경우가 똑같이 일어날 만할 때만 옳다. 주사위 두 개를 던져 나온 눈의 합을 보자. 합은 $2$부터 $12$까지 $11$가지지만, 그렇다고 각 합의 확률이 $\frac{1}{11}$인 건 아니다. 합이 $7$이 되는 경우는 여러 조합이 있고 합이 $12$가 되는 경우는 하나뿐이라, 나올 만한 정도가 서로 다르기 때문이다. 그래서 확률을 셀 때는 "무엇을 하나의 경우로 놓아야 각 경우가 대등한가"를 먼저 정해야 한다(여기서는 두 주사위를 구별해 $36$가지로 놓는다).
또 하나 익혀 두면 좋은 시선이 여사건이다. "적어도 하나는 $\sim$"처럼 조건에 맞는 경우가 여러 갈래로 흩어져 세기 번거로울 때, 반대로 "하나도 $\sim$ 아님"만 세서 전체 $1$에서 빼면 훨씬 빠르다. 정면으로 세기 어려우면 뒤집어 세는 습관, 이게 확률 문제의 큰 무기다.
마지막으로 확률은 항상 $0$과 $1$ 사이의 값이다. 계산 결과가 음수가 되거나 $1$을 넘으면 어딘가 잘못 센 것이니, 답을 구한 뒤 이 범위 안에 드는지 점검하는 것만으로도 실수를 많이 걸러낼 수 있다.
주사위 2개를 던져 눈의 합이 $10$ 이상일 확률: 전체 $36$가지 중 합이 $10, 11, 12$인 경우는 $3 + 2 + 1 = 6$가지이므로 $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
"두 개의 눈이 서로 다를 확률"은 여사건(두 눈이 같음, $6$가지)으로 세는 게 빠르다: $1 - \frac{6}{36} = \frac{5}{6}$.