⚔️ 어둠의 스킬 (한국) — 교과서에는 없지만 한국 고교 수험가에서 널리 쓰이는 속산 공식이다. "1/6 공식"이라는 별명으로 통한다. 서술형에서는 공식만 쓰면 감점될 수 있으니 유도 과정과 함께 쓰자. 전체 목록은 어둠의 스킬 문서에.
이차함수 넓이 공식(1/6 공식)은 이차함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분 계산 없이 구하는 공식이다. 곡선 $y = ax^2 + bx + c$와 직선이 $x = \alpha,\ \beta$ ($\alpha < \beta$)에서 만날 때, 둘 사이 넓이는
$$S = \frac{|a|(\beta - \alpha)^3}{6}$$
이다. 같은 계열의 공식으로, 이차함수와 그 접선(접점 $x = t$), 직선 $x = s$로 둘러싸인 넓이 $S = \dfrac{|a||s - t|^3}{3}$ (1/3 공식), 이차함수와 두 접선(접점 $x = \alpha, \beta$)으로 둘러싸인 넓이 $S = \dfrac{|a|(\beta - \alpha)^3}{12}$ (1/12 공식)이 있다.
곡선과 직선의 차(위 함수 − 아래 함수)는 언제나 $a(x - \alpha)(x - \beta)$ 꼴의 이차식이다. 즉 어떤 이차함수·직선 조합이든, 둘러싸인 도형의 모양은 교점 사이 거리 $(\beta - \alpha)$와 벌어짐 정도 $|a|$ 두 가지로 완전히 결정된다. 그래서 넓이도 이 두 값만의 식으로 나올 수밖에 없고, 실제로 적분해 보면 계수가 $\frac{1}{6}$이다:
$$\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(\beta - x)\, dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}$$
비유하면, 활시위(직선)와 활대(포물선)가 만드는 활 모양의 넓이는 "시위 양 끝 사이 거리"와 "활대의 굽은 정도"만 알면 정해지는 것과 같다.
이 공식에서 학생들이 걸리는 지점은 두 가지다. 첫째, "$a$가 뭐지?" — $a$는 문제에 나온 이차함수의 이차항 계수가 아니라, (위 식 − 아래 식)을 정리했을 때의 이차항 계수다. 곡선끼리의 넓이 문제에서는 두 이차항 계수의 차가 되기도 하니, 반드시 차부터 정리하는 습관을 들이자. 둘째, "$\beta - \alpha$를 꼭 근을 다 구해서 빼야 하나?" — 아니다. 교점의 $x$좌표는 방정식 (위 식) = (아래 식)의 두 근이므로, 근과 계수의 관계로 $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$를 쓰면 근이 지저분한 무리수여도 빠르게 처리된다.
왜 "어둠의 스킬"인가? 이 공식 자체는 교과서 정적분으로 3~4줄이면 유도되는 정당한 결과다. 문제는 쓰는 방식이다. 객관식에서는 그냥 쓰면 되지만, 서술형에서 "1/6 공식에 의해 $S = \frac{27}{6}$"라고만 쓰면 근거 없는 답으로 취급될 수 있다. 서술형에서는 $\int_\alpha^\beta \{(\text{직선}) - (\text{곡선})\}dx$를 세우고 계산 과정에서 공식을 검산용으로 쓰는 것이 안전하다.
핵심 한 줄: 차를 정리해 $|a|$를 찾고, 교점 거리의 세제곱에 곱해 6으로 나눈다 — 서술형에서는 유도와 함께.
곡선 $y = x^2$과 직선 $y = x + 2$로 둘러싸인 넓이를 구하자. 교점: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x-2) = 0$이므로 $\alpha = -1,\ \beta = 2$.
$$S = \frac{|1| \cdot (2 - (-1))^3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$
정적분으로 검산: $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$ — 일치한다.