함수 $y=f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선은 그 점을 지나고 기울기가 $f'(a)$($f$ 프라임 $a$, $x=a$에서의 미분계수)인 직선이다. 이 접선의 방정식은
$$y - f(a) = f'(a)(x-a)$$
로 나타낸다. 여기서 $f(a)$는 접점의 $y$좌표, $f'(a)$는 접선의 기울기다.
곡선 위의 한 점 근처를 아주 크게 확대해서 보면, 곡선은 거의 직선처럼 보인다. 그 "거의 직선"이 바로 접선이다. 곡선 위의 두 점을 잇는 할선(secant line)을 그리고, 두 점을 점점 가깝게 모으면 할선의 기울기가 어떤 값(=미분계수)에 가까워지는데, 그 극한이 접선의 기울기다. 즉 접선은 "곡선의 한 점에서 순간적인 기울기를 그대로 가진 직선"이라고 생각하면 된다.
곡선 밖의 한 점 $(x_1, y_1)$에서 곡선 $y=f(x)$에 접선을 그을 때는, 그 점을 접점으로 착각하면 안 된다. 접점을 미지수 $(t, f(t))$로 놓고 접선의 방정식
$$y - f(t) = f'(t)(x-t)$$
을 세운 뒤, 이 직선이 $(x_1, y_1)$을 지난다는 조건을 대입해 $t$에 대한 방정식을 풀어야 한다. $t$의 값이 여러 개 나오면 접선도 여러 개다.
예시 1. $y=x^2$ 위의 점 $x=1$에서의 접선.
$f'(x)=2x$이므로 $f'(1)=2$, $f(1)=1$. 접선의 방정식은 $$y-1=2(x-1) \implies y=2x-1$$
예시 2. 곡선 $y=x^2$ 밖의 점 $(1,-3)$에서 그은 접선을 모두 구하기.
접점을 $(t,t^2)$이라 하면 접선은 $y-t^2=2t(x-t)$, 즉 $y=2tx-t^2$. 이 직선이 $(1,-3)$을 지나므로 $$-3 = 2t - t^2 \implies t^2-2t-3=0 \implies (t-3)(t+1)=0$$ $t=3$ 또는 $t=-1$. 따라서 접선은 $y=6x-9$와 $y=-2x-1$ 두 개다.
자동차 경주에서 특정 순간의 속도계는 위치-시간 그래프 위 한 점에서의 접선의 기울기, 즉 순간속도를 나타낸다. 곡선으로 그려진 이동 경로 그래프에서 어느 순간에 차가 얼마나 빠르게 움직이는지를 알고 싶다면, 그 시각에 해당하는 점에서 접선을 긋고 그 기울기를 읽으면 된다.
잘못된 생각: 접선의 기울기를 구할 때 두 점 사이의 평균변화율(할선의 기울기)을 그대로 쓴다. 왜 틀렸는지: 접선의 기울기는 한 점에서의 순간적인 변화율인 미분계수 $f'(a)$이지, 서로 다른 두 점을 이은 할선의 기울기가 아니다. 할선 기울기는 $a$ 근처의 다른 점을 잡아 극한을 보내야 접선 기울기가 된다.
잘못된 생각: 곡선 밖의 점 $(x_1,y_1)$에서 접선을 구할 때, $(x_1,y_1)$을 접점으로 놓고 $y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$을 계산한다. 왜 틀렸는지: $(x_1,y_1)$이 곡선 위의 점이 아니라면 그 점은 접점이 될 수 없다. 접점은 미지수 $t$로 두고, 접선이 $(x_1,y_1)$을 지난다는 조건으로 $t$를 구해야 한다.
잘못된 생각: 접선의 방정식을 $y=f'(a)x + f(a)$로 쓴다. 왜 틀렸는지: 절편을 그냥 $f(a)$로 두는 것은 오류다. 올바른 식은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$를 전개한 $y=f'(a)x + \{f(a)-a f'(a)\}$이며, 절편은 $a$와 $f'(a)$에 따라 달라진다.