# 이차함수 넓이 공식

분야: 해석
학교급: 고등
교육과정: 정규 교육과정 외 — 한국 고교 수험가의 속산 공식 (1/6 공식)
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98_%EB%84%93%EC%9D%B4_%EA%B3%B5%EC%8B%9D

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<!-- prereq: 넓이와 정적분, 이차함수 -->
> ⚔️ **어둠의 스킬** (한국) — 교과서에는 없지만 한국 고교 수험가에서 널리 쓰이는 속산 공식이다. "1/6 공식"이라는 별명으로 통한다. 서술형에서는 공식만 쓰면 감점될 수 있으니 유도 과정과 함께 쓰자. 전체 목록은 어둠의 스킬 문서에.

## 정의

**이차함수 넓이 공식**(1/6 공식)은 이차함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분 계산 없이 구하는 공식이다. 곡선 $y = ax^2 + bx + c$와 직선이 $x = \alpha,\ \beta$ ($\alpha < \beta$)에서 만날 때, 둘 사이 넓이는

$$S = \frac{|a|(\beta - \alpha)^3}{6}$$

이다. 같은 계열의 공식으로, 이차함수와 그 접선(접점 $x = t$), 직선 $x = s$로 둘러싸인 넓이 $S = \dfrac{|a||s - t|^3}{3}$ (1/3 공식), 이차함수와 두 접선(접점 $x = \alpha, \beta$)으로 둘러싸인 넓이 $S = \dfrac{|a|(\beta - \alpha)^3}{12}$ (1/12 공식)이 있다.

## 직관

곡선과 직선의 차(위 함수 − 아래 함수)는 언제나 $a(x - \alpha)(x - \beta)$ 꼴의 이차식이다. 즉 **어떤 이차함수·직선 조합이든, 둘러싸인 도형의 모양은 교점 사이 거리 $(\beta - \alpha)$와 벌어짐 정도 $|a|$ 두 가지로 완전히 결정된다.** 그래서 넓이도 이 두 값만의 식으로 나올 수밖에 없고, 실제로 적분해 보면 계수가 $\frac{1}{6}$이다:

$$\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(\beta - x)\, dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}$$

비유하면, 활시위(직선)와 활대(포물선)가 만드는 활 모양의 넓이는 "시위 양 끝 사이 거리"와 "활대의 굽은 정도"만 알면 정해지는 것과 같다.

## 🧑‍🏫 쉬운 설명

이 공식에서 학생들이 걸리는 지점은 두 가지다. 첫째, "$a$가 뭐지?" — $a$는 **문제에 나온 이차함수의 이차항 계수가 아니라, (위 식 − 아래 식)을 정리했을 때의 이차항 계수**다. 곡선끼리의 넓이 문제에서는 두 이차항 계수의 차가 되기도 하니, 반드시 차부터 정리하는 습관을 들이자. 둘째, "$\beta - \alpha$를 꼭 근을 다 구해서 빼야 하나?" — 아니다. 교점의 $x$좌표는 방정식 (위 식) = (아래 식)의 두 근이므로, 근과 계수의 관계로 $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$를 쓰면 근이 지저분한 무리수여도 빠르게 처리된다.

왜 "어둠의 스킬"인가? 이 공식 자체는 교과서 정적분으로 3~4줄이면 유도되는 **정당한 결과**다. 문제는 쓰는 방식이다. 객관식에서는 그냥 쓰면 되지만, 서술형에서 "1/6 공식에 의해 $S = \frac{27}{6}$"라고만 쓰면 근거 없는 답으로 취급될 수 있다. 서술형에서는 $\int_\alpha^\beta \{(\text{직선}) - (\text{곡선})\}dx$를 세우고 계산 과정에서 공식을 검산용으로 쓰는 것이 안전하다.

핵심 한 줄: **차를 정리해 $|a|$를 찾고, 교점 거리의 세제곱에 곱해 6으로 나눈다 — 서술형에서는 유도와 함께.**

## 예시

곡선 $y = x^2$과 직선 $y = x + 2$로 둘러싸인 넓이를 구하자. 교점: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x-2) = 0$이므로 $\alpha = -1,\ \beta = 2$.

$$S = \frac{|1| \cdot (2 - (-1))^3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

정적분으로 검산: $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$ — 일치한다.


그래프: y=x^2, y=x+2 (정의역 -4~4), 표시점: (-1, 1) 교점 α; (2, 4) 교점 β


- 하나 더: 곡선 $y = -x^2 + 3x$와 직선 $y = x - 3$. 교점: $-x^2 + 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1, 3$. 차의 이차항 계수 크기는 $1$이므로 $S = \dfrac{1 \cdot 4^3}{6} = \dfrac{32}{3}$.

## 🌍 실생활 예시

- **시험장의 시간 관리**: 수능 수학에서 정적분 넓이 문제는 단골인데, 정직하게 적분하면 1~2분, 이 공식이면 10초다. 아낀 시간을 어려운 문제에 쓰는 것이 이 공식의 실제 용도다.
- **아치와 활**: 포물선 아치(다리, 분수 물줄기)와 지면이 만드는 단면의 넓이도 같은 구조다 — 지면과의 두 교점 거리와 포물선의 굽은 정도만 알면 넓이가 나온다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **$a$를 잘못 잡는다** → 곡선 $y = 2x^2 + \cdots$와 곡선 $y = -x^2 + \cdots$ 사이 넓이라면 $|a| = |2 - (-1)| = 3$이다. 반드시 (위 식 − 아래 식)을 먼저 정리한다.
- **세제곱을 제곱으로** → $(\beta - \alpha)^3$의 3제곱을 빼먹고 $(\beta - \alpha)^2$으로 계산하는 실수가 잦다. 차원을 생각하면 넓이는 (길이)$^2$ 같지만, $|a|$가 (길이)$^{-1}$ 역할을 해서 세제곱이 맞다.
- **1/6·1/3·1/12 공식의 혼동** → "직선과 두 교점"은 6, "접선 하나와 세로선"은 3, "접선 두 개"는 12. 상황 확인 없이 6부터 쓰는 습관을 조심하자.
- **서술형에서 공식만 제시** → 유도 없이 결과만 쓰면 감점될 수 있다. 이 공식은 답을 "확인"하는 용도로 쓰는 것이 안전하다.

## 확인 문제

1. 곡선 $y = 2x^2$과 직선 $y = 2x + 4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 1/6 공식으로 구하라.
2. $\displaystyle\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(\beta - x)\, dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}$을 직접 계산해 증명하라. (힌트: $t = x - \alpha$로 치환하고 $k = \beta - \alpha$로 두면 $\int_0^k t(k - t)\, dt$가 된다.) — 이 한 번의 유도가 공식을 "어둠"에서 "빛"으로 만든다. 서술형에서도 쓸 수 있게 된다.
3. 곡선 $y = x^2 - 2x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 넓이를 (a) 1/6 공식, (b) 정적분으로 각각 구해 비교하라.

정답 보기:

1. 교점: $2x^2 = 2x + 4 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1, 2$. $S = \dfrac{2 \cdot 3^3}{6} = 9$.
2. $\displaystyle\int_0^k t(k - t)\, dt = \left[\frac{kt^2}{2} - \frac{t^3}{3}\right]_0^k = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}$. $k = \beta - \alpha$이므로 성립.
3. 교점: $x^2 - 2x = x \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, 3$. (a) $S = \dfrac{1 \cdot 3^3}{6} = \dfrac{9}{2}$. (b) $\displaystyle\int_0^3 (x - x^2 + 2x)\, dx = \int_0^3 (3x - x^2)\, dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$ — 일치.



## 관련 개념

- 이 공식의 뿌리: 정적분, 넓이와 정적분
- 교점 거리를 빠르게 구하는 도구: 근과 계수의 관계, 판별식
- 접선 버전(1/3·1/12 공식)에 필요한 접선의 방정식
- 다른 나라별 비공식 테크닉: 어둠의 스킬

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관련 개념:
- 어둠의 스킬 (/wiki/math/%EC%96%B4%EB%91%A0%EC%9D%98_%EC%8A%A4%ED%82%AC)
- 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98)
- 정적분 (/wiki/math/%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)
- 근과 계수의 관계 (/wiki/math/%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EA%B3%84%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B4%80%EA%B3%84)
- 넓이와 정적분 (/wiki/math/%EB%84%93%EC%9D%B4%EC%99%80_%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)
- 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D)
- 접선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A0%91%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)