근과 계수의 관계

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이 개념은 이차방정식의 두 근과 계수 사이의 관계를 다룬다.

정의

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$)의 두 근을 $\alpha, \beta$(알파, 베타)라 하면 다음이 성립한다.

$$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \qquad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$$

이를 근과 계수의 관계라 한다. 이는 이차방정식을 근을 이용해 인수분해한 식

$$a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$$

의 우변을 원래 식 $ax^2+bx+c$와 계수 비교하여 얻는다. 즉 $-a(\alpha+\beta)=b$, $a\alpha\beta=c$에서 위 식이 나온다. 근을 직접 구하지 않아도 계수만으로 두 근의 합과 곱을 알 수 있다는 것이 핵심이다.

직관

이차방정식의 근을 판별식으로 실근인지 허근인지 판단한 뒤, 근의 공식으로 직접 구하는 방법도 있지만 계산이 복잡할 때가 많다. 그런데 $\alpha+\beta$나 $\alpha\beta$, $\alpha^2+\beta^2$처럼 두 근이 대칭적으로 섞인 식(대칭식이라 한다)의 값은 근을 몰라도 계수 $a,b,c$만 알면 바로 구할 수 있다. 마치 두 사람의 몸무게를 각각 재지 않고도 "둘의 합은 100kg, 둘의 곱은 얼마"라는 정보만으로 필요한 식의 값을 계산해내는 것과 비슷하다.

유도

이미 알고 있는 근의 공식에서 출발해 보자. 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근은

$$\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad \beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

이다. 편의상 $D=b^2-4ac$라 하자.

두 근을 더해 보면, 분모가 같으므로 분자끼리 더하면 된다.

$$\alpha+\beta=\dfrac{(-b+\sqrt{D})+(-b-\sqrt{D})}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$$

근호가 붙은 항 $\sqrt{D}$와 $-\sqrt{D}$가 서로 상쇄되어 사라지므로, 판별식의 값이 무엇이든(심지어 음수여서 근이 허근이어도) 두 근의 합은 근호 없이 계수만으로 깔끔하게 정리된다.

두 근을 곱해 보면, 합차 공식 $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$의 꼴이 됨을 이용한다.

$$\alpha\beta=\dfrac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{(2a)^2}=\dfrac{(-b)^2-(\sqrt{D})^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-D}{4a^2}$$

여기에 $D=b^2-4ac$를 대입하면

$$\alpha\beta=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$$

이번에도 $\sqrt{D}$가 제곱되면서 사라진다. 근의 공식이라는 복잡한 식을 직접 더하고 곱하는 계산만으로 근호가 완전히 제거되고, 결국 계수만으로 이루어진 두 식 $-\dfrac{b}{a}$와 $\dfrac{c}{a}$가 남는다는 것이 근과 계수의 관계가 성립하는 이유다.

성질

• 두 근의 합: $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$
• 두 근의 곱: $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
• 두 근을 알 때 이차방정식 복원: $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$ (단, $a=1$인 경우)
• 자주 쓰는 대칭식 변형: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$, $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$, $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$

예시

예시 1. $2x^2-5x+3=0$의 두 근을 $\alpha,\beta$라 하면

$$\alpha+\beta=\dfrac{5}{2}, \qquad \alpha\beta=\dfrac{3}{2}$$

이때 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\dfrac{25}{4}-3=\dfrac{13}{4}$이다. 두 근이 각각 얼마인지 구하지 않고도 답을 얻었다.

예시 2. 두 근이 $3$과 $-2$인 이차방정식(이차항 계수 $1$)을 만들면, 합은 $1$, 곱은 $-6$이므로 $x^2-x-6=0$이다.

🌍 실생활 예시

둘레와 넓이가 주어진 직사각형의 가로·세로 길이를 구하는 문제가 대표적이다. 예를 들어 둘레가 $20$, 넓이가 $24$인 직사각형의 가로 $x$, 세로 $y$를 구한다고 하자. 둘레 조건에서 $x+y=10$, 넓이 조건에서 $xy=24$를 얻는다. 이는 곧 합이 $10$, 곱이 $24$인 두 수를 구하는 문제이므로, 근과 계수의 관계를 거꾸로 이용해 $x, y$를 두 근으로 갖는 이차방정식 $t^2-10t+24=0$을 세우면 $(t-4)(t-6)=0$에서 $t=4$ 또는 $t=6$을 얻어 가로 $6$, 세로 $4$(또는 그 반대)임을 알 수 있다. 이렇게 "합과 곱이 주어졌을 때 두 수를 구하는" 실용적 상황은 도형의 변의 길이, 두 수의 조건 문제 등에서 자주 등장한다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$에서 부호를 빼먹고 $\alpha+\beta=\dfrac{b}{a}$로 외운다. → 왜 틀렸는지: $a(x-\alpha)(x-\beta)$를 전개하면 $x$의 계수가 $-a(\alpha+\beta)$이므로 $b=-a(\alpha+\beta)$가 되어 반드시 음의 부호가 붙는다. 곱은 부호가 그대로($\alpha\beta=c/a$)라는 점과 헷갈리지 않도록 주의해야 한다.
• 잘못된 생각: 방정식이 $x^2+bx+c=0$ 꼴이 아니라 $ax^2+bx+c=0$처럼 이차항 계수가 $1$이 아닌데도 $\alpha+\beta=-b,\ \alpha\beta=c$로 계산한다. → 왜 틀렸는지: 반드시 양변을 $a$로 나눈 $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ 꼴로 바꾸거나 처음부터 $-b/a$, $c/a$로 계산해야 한다.
• 잘못된 생각: $\alpha^2+\beta^2$을 구할 때 그냥 $(\alpha+\beta)^2$과 같다고 계산한다. → 왜 틀렸는지: $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$이므로 교차항 $2\alpha\beta$를 반드시 빼줘야 $\alpha^2+\beta^2$이 된다.

확인 문제

1. 이차방정식 $x^2-6x+4=0$의 두 근을 $\alpha,\beta$라 할 때 $\alpha+\beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.
2. 위 1번의 두 근에 대해 $\alpha^2+\beta^2$의 값을 구하시오.
3. 두 근이 $2$와 $5$이고 이차항 계수가 $3$인 이차방정식을 구하시오.

📜 역사

16세기 이전에는 이차방정식의 두 근을 구하려면 매번 근의 공식으로 직접 계산해야 했고, 계수만 보고 근 사이의 관계를 미리 알아내는 체계적인 방법은 없었다. 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트는 1591년 문자를 사용해 방정식을 나타내는 대수적 표기법을 정리하면서, 방정식의 계수와 근 사이에 성립하는 관계를 처음으로 다루었다. 이후 알베르 지라르가 1629년 자신의 저서에서 음수근과 허근까지 포함하도록 이 관계를 일반화했으며, 오늘날 이 결과는 비에트의 정리(Vieta's formulas)라는 이름으로 불린다.

관련 개념

• 이차방정식 — 근과 계수의 관계가 적용되는 기본 대상
• 인수분해 — 근을 이용해 다항식을 인수분해하는 데 사용
• 판별식 — 근의 종류(실근/허근)를 먼저 판단할 때 함께 쓰임
• 복소수 — 판별식이 음수일 때 근이 복소수로 나오는 경우
• 이차함수 — 이차함수의 그래프와 근의 관계로 확장