근과 계수의 관계

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이 개념은 이차방정식의 두 근과 계수 사이의 관계를 다룬다.

정의

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$)의 두 근을 $\alpha, \beta$(알파, 베타)라 하면 다음이 성립한다.

$$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \qquad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$$

이를 근과 계수의 관계라 한다. 이는 이차방정식을 근을 이용해 인수분해한 식

$$a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$$

의 우변을 원래 식 $ax^2+bx+c$와 계수 비교하여 얻는다. 즉 $-a(\alpha+\beta)=b$, $a\alpha\beta=c$에서 위 식이 나온다. 근을 직접 구하지 않아도 계수만으로 두 근의 합과 곱을 알 수 있다는 것이 핵심이다.

직관

이차방정식의 근을 판별식으로 실근인지 허근인지 판단한 뒤, 근의 공식으로 직접 구하는 방법도 있지만 계산이 복잡할 때가 많다. 그런데 $\alpha+\beta$나 $\alpha\beta$, $\alpha^2+\beta^2$처럼 두 근이 대칭적으로 섞인 식(대칭식이라 한다)의 값은 근을 몰라도 계수 $a,b,c$만 알면 바로 구할 수 있다. 마치 두 사람의 몸무게를 각각 재지 않고도 "둘의 합은 100kg, 둘의 곱은 얼마"라는 정보만으로 필요한 식의 값을 계산해내는 것과 비슷하다.

성질

• 두 근의 합: $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$
• 두 근의 곱: $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$
• 두 근을 알 때 이차방정식 복원: $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$ (단, $a=1$인 경우)
• 자주 쓰는 대칭식 변형: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$, $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$, $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$

예시

예시 1. $2x^2-5x+3=0$의 두 근을 $\alpha,\beta$라 하면

$$\alpha+\beta=\dfrac{5}{2}, \qquad \alpha\beta=\dfrac{3}{2}$$

이때 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\dfrac{25}{4}-3=\dfrac{13}{4}$이다. 두 근이 각각 얼마인지 구하지 않고도 답을 얻었다.

예시 2. 두 근이 $3$과 $-2$인 이차방정식(이차항 계수 $1$)을 만들면, 합은 $1$, 곱은 $-6$이므로 $x^2-x-6=0$이다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$에서 부호를 빼먹고 $\alpha+\beta=\dfrac{b}{a}$로 외운다. → 왜 틀렸는지: $a(x-\alpha)(x-\beta)$를 전개하면 $x$의 계수가 $-a(\alpha+\beta)$이므로 $b=-a(\alpha+\beta)$가 되어 반드시 음의 부호가 붙는다. 곱은 부호가 그대로($\alpha\beta=c/a$)라는 점과 헷갈리지 않도록 주의해야 한다.
• 잘못된 생각: 방정식이 $x^2+bx+c=0$ 꼴이 아니라 $ax^2+bx+c=0$처럼 이차항 계수가 $1$이 아닌데도 $\alpha+\beta=-b,\ \alpha\beta=c$로 계산한다. → 왜 틀렸는지: 반드시 양변을 $a$로 나눈 $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ 꼴로 바꾸거나 처음부터 $-b/a$, $c/a$로 계산해야 한다.
• 잘못된 생각: $\alpha^2+\beta^2$을 구할 때 그냥 $(\alpha+\beta)^2$과 같다고 계산한다. → 왜 틀렸는지: $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$이므로 교차항 $2\alpha\beta$를 반드시 빼줘야 $\alpha^2+\beta^2$이 된다.

확인 문제

1. 이차방정식 $x^2-6x+4=0$의 두 근을 $\alpha,\beta$라 할 때 $\alpha+\beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.
2. 위 1번의 두 근에 대해 $\alpha^2+\beta^2$의 값을 구하시오.
3. 두 근이 $2$와 $5$이고 이차항 계수가 $3$인 이차방정식을 구하시오.

관련 개념

• 이차방정식 — 근과 계수의 관계가 적용되는 기본 대상
• 인수분해 — 근을 이용해 다항식을 인수분해하는 데 사용
• 판별식 — 근의 종류(실근/허근)를 먼저 판단할 때 함께 쓰임
• 복소수 — 판별식이 음수일 때 근이 복소수로 나오는 경우
• 이차함수 — 이차함수의 그래프와 근의 관계로 확장