이다. 이 쌍곡선은 두 꼭짓점 $(\pm a, 0)$을 지나고, $x$축과 $y$축에 대해 대칭이다.
직관
타원은 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 자취였다. 쌍곡선은 그 합 대신 거리의 차가 일정하다는 점만 다르다. 실을 이용한 타원 그리기와 비슷하게, 쌍곡선은 두 점에서 뻗어 나가는 두 갈래의 곡선(가지)으로 나뉜다 — $F$에 더 가까운 가지와 $F'$에 더 가까운 가지다.
또 하나의 핵심 그림은 점근선이다. 쌍곡선은 원점에서 멀어질수록 두 직선 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$에 한없이 가까워지지만 절대 만나지는 않는다. 이 두 직선을 마치 쌍곡선을 가두는 "울타리"처럼 생각하면 그래프의 전체 모양을 쉽게 그릴 수 있다.
예시 2. 초점이 $(4,0)$, $(-4,0)$이고 두 초점까지의 거리의 차가 $6$인 쌍곡선을 구하자. $2a = 6$이므로 $a=3$, $c=4$이므로 $b^2 = c^2-a^2 = 16-9=7$이다. 따라서 방정식은 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{7} = 1$이다.
🌍 실생활 예시
과거 선박·항공기의 위치를 찾던 로란(LORAN) 항법 시스템은 쌍곡선의 정의를 그대로 이용했다. 두 개의 지상 송신국에서 동시에 신호를 보내면, 수신기는 두 신호의 도착 시간 차이로부터 두 송신국까지의 거리의 차를 알아낼 수 있다. 거리의 차가 일정한 점들의 집합이 바로 쌍곡선이므로, 하나의 시간 차 측정값은 배가 있을 수 있는 위치를 하나의 쌍곡선 위로 좁혀 준다. 두 쌍의 송신국을 이용해 두 쌍곡선을 그리면 그 교점에서 배의 정확한 위치를 알아낼 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 쌍곡선도 타원처럼 두 초점까지의 거리의 "합"이 일정하다고 착각한다. → 왜 틀렸는지: 쌍곡선은 거리의 차(절댓값)가 일정한 것이며, 합이 일정한 것은 타원의 정의다. 두 개념을 반드시 구분해야 한다.
잘못된 생각: $c^2 = a^2 + b^2$를 타원처럼 $c^2 = a^2 - b^2$로 착각해서 부호를 반대로 쓴다. → 왜 틀렸는지: 쌍곡선에서는 $c$가 $a$보다 항상 크고($e>1$), $b^2$가 초점 거리를 늘리는 방향으로 작용하므로 덧셈이 맞다. 타원은 $c<a$이므로 뺄셈이다.
잘못된 생각: 점근선의 기울기를 $\dfrac{a}{b}$로 쓴다(분자·분모를 반대로 씀). → 왜 틀렸는지: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}=0$을 $\dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{x^2}{a^2}$로 정리하면 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$가 되므로, 기울기는 $x^2$의 분모가 아니라 $y^2$의 분모를 분자로 가져와야 한다.
쌍곡선 위의 한 점 $P$에서 두 초점 $F$, $F'$까지의 거리가 각각 $\overline{PF}=9$, $\overline{PF'}=3$일 때, $a$의 값을 구하시오.
(개념을 다지는 문제) $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에서 $b \to 0$이면 쌍곡선의 모양이 어떻게 변하는지, 그리고 $a \to 0$이면 어떻게 변하는지 점근선의 기울기 $\dfrac{b}{a}$의 변화를 이용해 설명하시오.
정의에 의해 $2a = |\overline{PF}-\overline{PF'}| = |9-3| = 6$이므로 $a=3$.
$b\to 0$이면 점근선의 기울기 $\dfrac{b}{a}\to 0$이 되어 쌍곡선이 $x$축에 점점 납작하게 눌린 모양(거의 두 반직선)이 되고, $a\to 0$이면 기울기 $\dfrac{b}{a}\to \infty$가 되어 쌍곡선이 $y$축에 가까운 세로로 좁고 뾰족한 모양으로 변한다. 즉 $a$, $b$의 비율이 쌍곡선이 "얼마나 벌어졌는지"를 결정한다.