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원과 부채꼴

기하 중등 · v1 · 🤖 LLM 버전

🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 원 (초등) · 각과 각도 (초등) · 둘레와 넓이 (초등) · 비례식과 비례배분 (준비 중)

정의

원은 평면 위의 한 점(중심)에서 일정한 거리(반지름)에 있는 점들을 모두 모은 도형이다. 부채꼴은 원에서 두 개의 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형이다. 이때 두 반지름이 만나는 중심에서 이루는 각을 중심각이라고 하며, 원 위에서 두 점을 잇는 굽은 선을 호(arc)라고 한다.

원의 반지름을 $r$, 원주율을 $\pi$(파이라고 읽는다, 대략 $3.14$)라고 하면 다음이 성립한다.

$$\text{원의 둘레 } l = 2\pi r, \qquad \text{원의 넓이 } S = \pi r^2$$

직관

부채꼴은 원 한 판을 피자처럼 잘라낸 한 조각으로 생각하면 이해하기 쉽다. 피자 전체(원)를 중심각 $360°$에 대응시키면, 한 조각(부채꼴)의 중심각이 $x°$일 때 그 조각은 전체 피자의 $\dfrac{x}{360}$만큼을 차지한다. 즉 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 모두 원 전체의 값에 "중심각이 전체 각의 몇 분의 몇인가"를 곱한 것과 같다. 이것이 부채꼴 공식이 나오는 원리다.

성질

중심각의 크기가 $x°$인 부채꼴의 호의 길이 $l$과 넓이 $S$는 반지름 $r$인 원의 둘레와 넓이에 비율 $\dfrac{x}{360}$을 곱해서 구한다.

$$l = 2\pi r \times \dfrac{x}{360}, \qquad S = \pi r^2 \times \dfrac{x}{360}$$

또한 두 식에서 $\dfrac{x}{360}$을 지우면 부채꼴의 반지름과 호의 길이만으로 넓이를 구하는 식도 얻을 수 있다.

$$S = \dfrac{1}{2} r l$$

예시

반지름이 $6\text{cm}$이고 중심각이 $60°$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구해 보자.

같은 값을 $S=\dfrac{1}{2}rl$로도 확인할 수 있다. $S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 2\pi = 6\pi \text{cm}^2$로 일치한다.

🌍 실생활 예시

부채꼴은 실제로 자동차 앞유리의 와이퍼가 닦는 영역을 설명할 때 쓰인다. 와이퍼는 한쪽 끝(중심)에 고정되어 일정한 각도로 왔다 갔다 움직이는데, 와이퍼가 한 번 지나가며 닦는 유리 부분이 바로 부채꼴 모양이다. 와이퍼의 길이가 반지름, 움직이는 각도가 중심각이 되므로, 부채꼴 넓이 공식으로 와이퍼가 닦는 면적을 계산할 수 있다.

⚠️ 흔한 실수

확인 문제

  1. 반지름이 $9\text{cm}$, 중심각이 $120°$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 구하라.
  2. 반지름이 $8\text{cm}$인 원 전체의 넓이를 구한 뒤, 중심각이 $90°$인 부채꼴의 넓이가 왜 원 전체 넓이의 정확히 $\dfrac{1}{4}$이 되는지 비율 $\dfrac{x}{360}$을 이용해 설명하라.
  3. 어떤 부채꼴의 반지름이 $10\text{cm}$이고 호의 길이가 $5\pi\text{cm}$일 때, $S=\dfrac{1}{2}rl$을 이용해 넓이를 구하라.
정답 보기
  1. $l = 2\pi \times 9 \times \dfrac{120}{360} = 6\pi \text{cm}$, $S = \pi \times 9^2 \times \dfrac{120}{360} = 27\pi \text{cm}^2$
  2. 원 전체 넓이는 $\pi \times 8^2 = 64\pi \text{cm}^2$이다. 중심각 $90°$는 전체 $360°$의 $\dfrac{90}{360}=\dfrac14$이므로, 넓이 공식 $S=\pi r^2 \times \dfrac{x}{360}$에서 $x=90$을 넣으면 자동으로 전체 넓이에 $\dfrac14$을 곱한 값이 나온다. 이는 부채꼴이 "원을 중심각 비율만큼 나눈 조각"이기 때문이다.
  3. $S = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 5\pi = 25\pi \text{cm}^2$

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