# 원의 방정식

분야: 기하
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9B%90%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D

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## 정의

좌표평면 위에서 점 $\mathrm{C}(a, b)$로부터 거리가 일정한 값 $r$ ($r>0$)인 점 전체의 집합을 원이라 한다. 이때 점 $\mathrm{C}$를 중심, $r$을 반지름이라 하며, 이 원의 방정식은 다음과 같다.

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

특히 중심이 원점 $(0,0)$이면 $x^2+y^2=r^2$이 된다.

이 식을 전개하면 $x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$이 되므로, 원의 방정식은 일반적으로

$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

꼴로도 나타낼 수 있다(일반형). 단, 이 식이 실제로 원이 되려면 $A^2+B^2-4C>0$이어야 한다.

## 직관

원 위의 점 $(x,y)$는 항상 중심 $\mathrm{C}(a,b)$에서 같은 거리 $r$만큼 떨어져 있다. 두 점 사이의 거리 공식 $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$은 피타고라스 정리에서 나온 것인데, 이 거리를 $r$로 고정하고 양변을 제곱하면 바로 원의 방정식이 나온다. 즉 원의 방정식은 "중심에서 거리가 $r$로 일정하다"는 조건을 좌표로 번역한 것일 뿐이다.

## 성질

- 중심 $(a,b)$, 반지름 $r$인 원 → $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- 일반형 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$을 완전제곱식으로 변형하면 중심 $\left(-\dfrac{A}{2}, -\dfrac{B}{2}\right)$, 반지름 $\dfrac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2}$인 원이 된다.
- 세 조건($A^2+B^2-4C$의 부호)에 따라: $>0$이면 원, $=0$이면 한 점(점원), $<0$이면 도형이 존재하지 않는다.

## 예시

중심이 $(2,-1)$이고 반지름이 $3$인 원의 방정식은

$$(x-2)^2+(y+1)^2=9$$

일반형으로 나타내면 $x^2+y^2-4x+2y-4=0$이다.

반대로 $x^2+y^2-6x+4y-3=0$이 주어졌다면, $x$와 $y$끼리 묶어 완전제곱식으로 고친다.

$$(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=3+9+4$$
$$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$

따라서 중심 $(3,-2)$, 반지름 $4$인 원이다.


그래프: y=sqrt(25-x^2), y=-sqrt(25-x^2) (정의역 -5~5)

위 그래프는 $x^2+y^2=25$, 즉 중심 $(0,0)$, 반지름 $5$인 원을 위/아래 두 함수로 나타낸 것이다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 보고 중심을 $(-a,-b)$라고 착각한다.
  **왜 틀렸는가**: 원의 방정식은 "$x$좌표가 $a$만큼, $y$좌표가 $b$만큼 이동"한 형태이므로 중심은 부호를 바꾸지 않은 $(a,b)$이다. 예를 들어 $(x+3)^2+(y-2)^2=4$의 중심은 $(-3, 2)$이지 $(3,-2)$가 아니다($x+3=x-(-3)$으로 봐야 한다).

- **잘못된 생각**: 일반형 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$이 주어지면 무조건 원이라고 생각하고 반지름을 계산한다.
  **왜 틀렸는가**: $A^2+B^2-4C \le 0$이면 원이 아니다($=0$이면 점 하나, $<0$이면 좌표평면 위에 아무 도형도 없다). 완전제곱식으로 바꿨을 때 우변이 양수인지 반드시 확인해야 한다.

- **잘못된 생각**: 방정식에서 우변의 수 $r^2$을 그대로 반지름으로 쓴다.
  **왜 틀렸는가**: $x^2+y^2=9$에서 반지름은 $9$가 아니라 $\sqrt{9}=3$이다. 우변은 반지름의 제곱이므로 제곱근을 취해야 한다.

## 확인 문제

1. 중심이 $(-1, 4)$이고 반지름이 $2$인 원의 방정식을 구하시오.
2. 방정식 $x^2+y^2+2x-8y+8=0$이 나타내는 원의 중심과 반지름을 구하시오.
3. 방정식 $x^2+y^2-4x+6y+13=0$은 원을 나타내는가? 그 이유를 설명하시오.

정답 보기:

1. $(x+1)^2+(y-4)^2=4$
2. 완전제곱식으로 고치면 $(x+1)^2+(y-4)^2=9$이므로 중심 $(-1,4)$, 반지름 $3$
3. 완전제곱식으로 고치면 $(x-2)^2+(y+3)^2=0$이 되어 우변이 $0$이므로 원이 아니라 점 $(2,-3)$ 하나를 나타낸다.



## 관련 개념

- 평면좌표 — 점의 위치를 좌표로 나타내는 기초
- 직선의 방정식 — 같은 방식으로 도형을 방정식으로 나타내는 예
- 판별식 — 원이 성립하는 조건을 판정할 때 쓰는 도구
- 원과 부채꼴 — 원의 기하학적 성질
- 이차곡선 — 포물선, 타원, 쌍곡선과 함께 다루는 이차식 곡선의 한 종류

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관련 개념:
- 피타고라스 정리 (/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC)
- 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C)
- 직선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A7%81%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D)
- 원과 부채꼴 (/wiki/math/%EC%9B%90%EA%B3%BC_%EB%B6%80%EC%B1%84%EA%BC%B4)
- 이차곡선 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EA%B3%A1%EC%84%A0)