첫째항이 $a$이고, 각 항에 일정한 수 $r$을 곱하면 다음 항이 되는 수열을 등비수열이라 하고, $r$을 공비($a_n$과 $a_{n+1}$의 비율)라 한다. 즉 모든 자연수 $n$에 대해
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (a_n \neq 0,\ r \neq 0)$$
이 성립하는 수열이다. 이때 일반항은
$$a_n = a r^{n-1}$$
로 나타낸다.
등비수열은 "매번 같은 배수를 곱해서" 커지거나 작아지는 수열이다. 예를 들어 세균이 한 시간마다 2배로 늘어나는 상황, 물건 가격이 매년 10 %씩 오르는 상황이 등비수열이다. 등차수열이 "매번 같은 수를 더하는" 변화라면, 등비수열은 "매번 같은 비율로 곱하는" 변화라고 생각하면 된다. 공비 $r$의 크기에 따라 그림이 달라지는데, $|r|>1$이면 항이 점점 커지고, $0<|r|<1$이면 0에 가까워지며, $r<0$이면 부호가 번갈아 바뀐다.
첫째항 $a=3$, 공비 $r=2$인 등비수열은 $3, 6, 12, 24, 48, \dots$이고, 일반항은 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$이다. 제 5항까지의 합은
$$S_5 = \frac{3(2^5-1)}{2-1} = 3 \cdot 31 = 93$$
이며 실제로 $3+6+12+24+48 = 93$으로 확인된다.
일반항을 연속적인 지수함수 그래프로 나타내면 항이 얼마나 빠르게 커지는지 시각적으로 볼 수 있다.
잘못된 생각: 합의 공식 $S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$을 공비가 $r=1$인 경우에도 그대로 대입한다. 왜 틀렸는지: $r=1$이면 분모가 $0$이 되어 식 자체가 정의되지 않는다. 이 경우는 모든 항이 $a$로 같으므로 $S_n = na$를 따로 써야 한다.
잘못된 생각: 등비중항을 구할 때 $b = \sqrt{ac}$로만 계산하고 끝낸다. 왜 틀렸는지: $b^2=ac$를 만족하는 $b$는 $\pm\sqrt{ac}$ 두 개다. 세 수의 부호나 수열의 조건(예: 모든 항이 음수)을 확인하지 않으면 부호를 잘못 정할 수 있다.
잘못된 생각: 어떤 항이 $0$이어도 공비만 맞으면 등비수열이라고 생각한다. 왜 틀렸는지: 등비수열은 항 사이의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$이 정의되어야 하므로 어느 항도 $0$이 될 수 없다. 한 항이라도 $0$이면 그 뒤의 비를 정의할 수 없어 등비수열이 아니다.