명제(proposition)는 참인지 거짓인지를 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식이다. 참/거짓을 명제의 진리값이라 한다.
수학이 다루는 문장은 "옳다/그르다"가 객관적으로 정해지는 것뿐이다. "$3$은 소수다"는 명제(참)이고, "$1+1=3$"도 명제(거짓)다. 그러나 "수학은 아름답다"는 사람마다 판단이 달라 명제가 아니다. 집합의 원소 판별 기준이 애매하면 안 되는 것과 같은 정신이다 — 실제로 조건 $p(x)$를 만족하는 $x$의 모임이 집합(진리집합)이 된다.
조건문 $p \rightarrow q$에 대해:
| 이름 | 형태 | 원명제와의 관계 |
|---|---|---|
| 역 | $q \rightarrow p$ | 진리값이 다를 수 있음 |
| 이 | $\sim p \rightarrow \sim q$ | 진리값이 다를 수 있음 |
| 대우 | $\sim q \rightarrow \sim p$ | 항상 진리값이 같음 |
대우의 동치성은 증명 기법의 뿌리다: $p \rightarrow q$를 직접 보이기 어려우면 $\sim q \rightarrow \sim p$를 보이면 된다(대우 증명법). 결론을 부정해 모순을 끌어내는 귀류법도 여기서 나온다.
명제 단원에서 학생들이 특히 자주 걸리는 두 지점이 있다. 첫째는 필요조건과 충분조건의 방향이다. $p \Rightarrow q$에서 화살표가 나가는 $p$가 충분조건, 들어오는 $q$가 필요조건이다. "비가 왔다 $\Rightarrow$ 땅이 젖었다"로 보자. 비가 왔다는 사실 하나만 있으면 땅이 젖었다고 결론짓기에 충분하다(그래서 $p$가 충분조건). 한편 비가 왔다면 땅은 반드시 젖어 있으니, $p$가 참이기 위해 $q$는 꼭 갖춰져야 하는 조건이다(그래서 $q$가 필요조건). 방향을 억지로 외우기보다 "이것만으로 충분한가? 이게 없으면 안 되나?"라고 말로 풀어 보면 헷갈림이 줄어든다.
둘째는 왜 대우만 원명제와 진리값이 항상 같은가다. "비가 오면 땅이 젖는다"가 참이어도, 뒤집은 역 "땅이 젖으면 비가 왔다"는 거짓일 수 있다 — 누가 물을 뿌렸을 수도 있으니까. 그런데 대우 "땅이 안 젖었으면 비가 안 왔다"는 원래 문장과 완전히 같은 말이다: 비가 왔는데 땅이 안 젖는 일은 없으니, 땅이 말라 있다면 비는 오지 않은 게 확실하다. 그래서 원명제를 직접 보이기 어려울 때 대우를 대신 증명해도 되는 것이다. "거꾸로 뒤집기(역)"와 "부정해서 뒤집기(대우)"는 전혀 다르다는 점만 확실히 잡아두자.
"$n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수다"를 직접 증명하기는 번거롭지만, 대우 "$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수다"는 $n = 2k+1$을 대입해 바로 확인된다:
$$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$