# 등비수열

분야: 해석
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4

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## 정의

첫째항이 $a$이고, 각 항에 일정한 수 $r$을 곱하면 다음 항이 되는 수열을 **등비수열**이라 하고, $r$을 **공비**($a_n$과 $a_{n+1}$의 비율)라 한다. 즉 모든 자연수 $n$에 대해

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (a_n \neq 0,\ r \neq 0)$$

이 성립하는 수열이다. 이때 일반항은

$$a_n = a r^{n-1}$$

로 나타낸다.

## 직관

등비수열은 "매번 같은 배수를 곱해서" 커지거나 작아지는 수열이다. 예를 들어 세균이 한 시간마다 2배로 늘어나는 상황, 물건 가격이 매년 10 %씩 오르는 상황이 등비수열이다. 등차수열이 "매번 같은 수를 더하는" 변화라면, 등비수열은 "매번 같은 비율로 곱하는" 변화라고 생각하면 된다. 공비 $r$의 크기에 따라 그림이 달라지는데, $|r|>1$이면 항이 점점 커지고, $0<|r|<1$이면 0에 가까워지며, $r<0$이면 부호가 번갈아 바뀐다.

## 성질

- **일반항**: $a_n = a r^{n-1}$
- **등비중항**: 세 수 $a, b, c$가 이 순서로 등비수열을 이루면 $b^2 = ac$가 성립한다. 이때 $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라 한다. (단 $b = \pm\sqrt{ac}$이므로 부호는 항의 순서와 조건에 맞게 정해야 한다.)
- **합의 공식**: 첫째항 $a$, 공비 $r$인 등비수열의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$은
$$
S_n =
\begin{cases}
\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r \neq 1) \\[6pt]
na & (r = 1)
\end{cases}
$$

## 예시

첫째항 $a=3$, 공비 $r=2$인 등비수열은 $3, 6, 12, 24, 48, \dots$이고, 일반항은 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$이다. 제 5항까지의 합은

$$S_5 = \frac{3(2^5-1)}{2-1} = 3 \cdot 31 = 93$$

이며 실제로 $3+6+12+24+48 = 93$으로 확인된다.

일반항을 연속적인 지수함수 그래프로 나타내면 항이 얼마나 빠르게 커지는지 시각적으로 볼 수 있다.


그래프: y=3*2^(x-1) (정의역 1~5)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 합의 공식 $S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$을 공비가 $r=1$인 경우에도 그대로 대입한다.
  **왜 틀렸는지**: $r=1$이면 분모가 $0$이 되어 식 자체가 정의되지 않는다. 이 경우는 모든 항이 $a$로 같으므로 $S_n = na$를 따로 써야 한다.

- **잘못된 생각**: 등비중항을 구할 때 $b = \sqrt{ac}$로만 계산하고 끝낸다.
  **왜 틀렸는지**: $b^2=ac$를 만족하는 $b$는 $\pm\sqrt{ac}$ 두 개다. 세 수의 부호나 수열의 조건(예: 모든 항이 음수)을 확인하지 않으면 부호를 잘못 정할 수 있다.

- **잘못된 생각**: 어떤 항이 $0$이어도 공비만 맞으면 등비수열이라고 생각한다.
  **왜 틀렸는지**: 등비수열은 항 사이의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$이 정의되어야 하므로 어느 항도 $0$이 될 수 없다. 한 항이라도 $0$이면 그 뒤의 비를 정의할 수 없어 등비수열이 아니다.

## 확인 문제

1. 첫째항이 $2$, 공비가 $3$인 등비수열의 제 6항까지의 합을 구하시오.
2. 세 수 $4, x, 9$가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, $x$의 값을 모두 구하시오.
3. 등비수열 $a_n = 5 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$의 제 4항을 구하시오.

정답 보기:

1. $S_6 = \dfrac{2(3^6-1)}{3-1} = \dfrac{2 \cdot 728}{2} = 728$
2. $x^2 = 4 \cdot 9 = 36$이므로 $x = \pm 6$
3. $a_4 = 5 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 5 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$



## 관련 개념

- 수열 — 등비수열이 속하는 더 큰 개념
- 등차수열 — 곱셈 대신 덧셈으로 변화하는 짝이 되는 수열
- 지수함수 — 등비수열의 일반항 $a r^{n-1}$과 같은 구조를 갖는 함수
- 급수 — 등비수열의 항을 무한히 더했을 때의 개념
- 수열의 극한 — 공비 $r$에 따라 등비수열이 수렴·발산하는지 다루는 개념

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관련 개념:
- 수열 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4)
- 등차수열 (/wiki/math/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4)
- 지수함수 (/wiki/math/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98)
- 급수 (/wiki/math/%EA%B8%89%EC%88%98)
- 수열의 극한 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C)