등차수열은 "매번 같은 양만큼 더해지는" 수열이다. 계단을 오를 때 한 칸의 높이가 항상 같다면, $n$번째 칸의 높이는 시작 높이에 (칸 수 $-1$)만큼 한 칸 높이를 곱해서 더한 값이 된다. 실제로 $a_n = a_1 + (n-1)d$는 $n$에 대한 일차함수 $f(n) = dn + (a_1 - d)$와 같은 꼴이므로, 등차수열의 각 항을 좌표평면에 점으로 찍으면 정확히 일차함수의 그래프 위에 나란히 놓인다.
성질
등차중항: 세 수 $a, b, c$가 이 순서로 등차수열을 이루면 $b$는 $a$와 $c$의 등차중항이라 하며 다음이 성립한다.
일반항 $a_n = 3n-1$을 $n$에 대한 함수로 그리면 다음과 같은 직선 위에 각 항이 놓인다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 공차를 구할 때 $a_1 - a_2$처럼 앞항에서 뒷항을 빼도 상관없다고 생각한다. → 왜 틀렸는지: 공차는 반드시 $d = a_{n+1} - a_n$(뒷항 $-$ 앞항)으로 정의되므로, 순서를 바꾸면 부호가 반대로 나와 수열이 증가하는지 감소하는지가 뒤바뀐다.
잘못된 생각: 일반항을 $a_n = a_1 + nd$로 외운다. → 왜 틀렸는지: 항이 하나씩 늘어날 때마다 공차가 더해지는 횟수는 $n$번이 아니라 $(n-1)$번이다. 예를 들어 $a_1$은 공차가 한 번도 더해지지 않은 항이므로 $n-1=0$이 맞다.
잘못된 생각: 합 $S_n$이 주어졌을 때 항상 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 적용한다. → 왜 틀렸는지: 이 식은 $n \ge 2$일 때만 성립하며, $n=1$일 때는 $S_0$이 정의되지 않으므로 $a_1 = S_1$을 따로 확인해야 한다.