등차수열

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정의

수열 $\{a_n\}$($a$ 서브 $n$이라 읽으며, $n$번째 항을 뜻한다)에서 이웃한 두 항의 차 $a_{n+1} - a_n$이 모든 자연수 $n$에 대해 일정한 값 $d$로 고정될 때, 이 수열을 등차수열이라 하고 $d$를 공차(公差)라 한다.

$$a_{n+1} - a_n = d \quad (\text{모든 자연수 } n)$$

첫째항이 $a_1$이고 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

직관

등차수열은 "매번 같은 양만큼 더해지는" 수열이다. 계단을 오를 때 한 칸의 높이가 항상 같다면, $n$번째 칸의 높이는 시작 높이에 (칸 수 $-1$)만큼 한 칸 높이를 곱해서 더한 값이 된다. 실제로 $a_n = a_1 + (n-1)d$는 $n$에 대한 일차함수 $f(n) = dn + (a_1 - d)$와 같은 꼴이므로, 등차수열의 각 항을 좌표평면에 점으로 찍으면 정확히 일차함수의 그래프 위에 나란히 놓인다.

성질

등차중항: 세 수 $a, b, c$가 이 순서로 등차수열을 이루면 $b$는 $a$와 $c$의 등차중항이라 하며 다음이 성립한다.

$$2b = a + c$$

첫째항부터 $n$째항까지의 합 $S_n$($S$ 서브 $n$이라 읽는다)은

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}$$

또한 $S_n$과 $a_n$ 사이에는 다음 관계가 성립한다.

$$a_n = \begin{cases} S_1 & (n=1) \\ S_n - S_{n-1} & (n \ge 2) \end{cases}$$

예시

첫째항이 $2$, 공차가 $3$인 등차수열을 생각해 보자. 일반항은 $a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1$이다. 실제로 $a_1=2, a_2=5, a_3=8, \dots$로 항이 3씩 늘어난다. 이 수열의 첫 10항의 합은

$$S_{10} = \frac{10(2\cdot 2 + 9\cdot 3)}{2} = \frac{10(4+27)}{2} = \frac{10\cdot 31}{2} = 155$$

일반항 $a_n = 3n-1$을 $n$에 대한 함수로 그리면 다음과 같은 직선 위에 각 항이 놓인다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: 공차를 구할 때 $a_1 - a_2$처럼 앞항에서 뒷항을 빼도 상관없다고 생각한다. → 왜 틀렸는지: 공차는 반드시 $d = a_{n+1} - a_n$(뒷항 $-$ 앞항)으로 정의되므로, 순서를 바꾸면 부호가 반대로 나와 수열이 증가하는지 감소하는지가 뒤바뀐다.
• 잘못된 생각: 일반항을 $a_n = a_1 + nd$로 외운다. → 왜 틀렸는지: 항이 하나씩 늘어날 때마다 공차가 더해지는 횟수는 $n$번이 아니라 $(n-1)$번이다. 예를 들어 $a_1$은 공차가 한 번도 더해지지 않은 항이므로 $n-1=0$이 맞다.
• 잘못된 생각: 합 $S_n$이 주어졌을 때 항상 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 적용한다. → 왜 틀렸는지: 이 식은 $n \ge 2$일 때만 성립하며, $n=1$일 때는 $S_0$이 정의되지 않으므로 $a_1 = S_1$을 따로 확인해야 한다.

확인 문제

1. 첫째항이 $5$, 공차가 $-2$인 등차수열의 일반항 $a_n$과 제20항을 구하시오.
2. 등차수열 $3, 7, 11, \dots$의 첫 10항의 합을 구하시오.
3. 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 8$, $a_7 = 20$일 때 공차 $d$와 첫째항 $a_1$을 구하시오.

관련 개념

• 수열 — 등차수열은 수열의 한 종류이므로 먼저 수열의 정의를 이해해야 한다.
• 일차함수 — 등차수열의 일반항은 $n$에 대한 일차함수 꼴이다.
• 등비수열 — 항 사이의 관계가 덧셈이 아닌 곱셈으로 정해지는 대비되는 개념이다.
• 급수 — 등차수열의 합을 무한히 확장하는 개념으로 이어진다.
• 수열의 극한 — 등차수열의 항이 커질 때의 극한적 행동을 다룰 때 쓰인다.