🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 확률 (중등) · 경우의 수와 확률의 기초 (중등)
정의
표본공간 $S$에서 사건 $A$, $B$가 있고 $P(A) > 0$일 때, 사건 $A$가 일어났다는 조건 아래에서 사건 $B$가 일어날 조건부확률을 다음과 같이 정의한다.
$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
여기서 $P(B|A)$는 "피 비 given 에이" 또는 "에이가 일어났을 때 비의 조건부확률"이라 읽고, $A \cap B$는 "에이 교집합 비"라 읽으며 두 사건이 동시에 일어나는 사건을 뜻한다.
직관
조건부확률은 "표본공간을 다시 좁혀서 확률을 계산한다"는 뜻이다. 원래 전체 표본공간 $S$ 안에서 확률을 따지지만, $A$가 이미 일어났다는 정보를 얻으면 이제 우리가 생각해야 할 새로운 세상은 $S$ 전체가 아니라 $A$뿐이다. 그 좁아진 세상($A$) 안에서 $B$가 차지하는 비율이 곧 $P(B|A)$다. 그래서 분모가 $P(S)=1$이 아니라 $P(A)$가 되는 것이다.
$A \cap B$: 첫 번째가 짝수이면서 합이 8인 경우 = $(2,6),(4,4),(6,2) \to 3$가지, $P(A\cap B) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$
따라서 $P(B|A) = \dfrac{1/12}{1/2} = \dfrac16$이다. 반대로 $P(A|B) = \dfrac{3/36}{5/36} = \dfrac35$이다. 두 값이 다르다는 점이 조건부확률의 핵심 특징이다.
🌍 실생활 예시
병의 검진 검사가 대표적인 예다. 예를 들어 어떤 질병의 유병률이 1%이고, 검사의 민감도(질병이 있을 때 양성이 나올 확률)가 99%, 특이도(질병이 없을 때 음성이 나올 확률)가 95%라고 하자. 검사에서 양성이 나왔을 때 실제로 질병이 있을 확률 $P(\text{질병}|\text{양성})$은 단순히 99%가 아니다. 유병률이 낮으면 건강한 사람 중에서 잘못 양성이 나오는 경우(가짜 양성)의 수가 실제 환자의 수보다 훨씬 많아질 수 있기 때문에, 조건부확률을 계산해 보면 그 값이 99%보다 훨씬 낮게 나온다. 이런 계산 때문에 의료 현장에서는 양성 판정을 받아도 추가 검사를 권한다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $P(B|A)$와 $P(A|B)$는 같다. → 왜 틀렸는지: 위 주사위 예시에서 $P(B|A) = \dfrac16$이지만 $P(A|B) = \dfrac35$로 다르다. 분모가 각각 $P(A)$, $P(B)$로 다르기 때문에 일반적으로 순서를 바꾸면 값이 달라진다.
잘못된 생각: 조건부확률의 분모는 항상 전체 표본공간(확률 1)이다. → 왜 틀렸는지: $P(B|A)$의 분모는 전체가 아니라 조건이 되는 사건 $A$의 확률 $P(A)$다. 조건이 주어지는 순간 표본공간 자체가 $A$로 줄어든 것으로 봐야 한다.
잘못된 생각: 곱셈정리를 무조건 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$로 계산한다. → 왜 틀렸는지: 이 식은 $A$, $B$가 독립일 때만 성립한다. 독립이 확인되지 않았다면 반드시 $P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$를 사용해야 한다.
확인 문제
(개념을 다지는 문제) 빨간 공 3개, 파란 공 5개가 든 상자에서 공을 하나씩 두 번 꺼낸다(꺼낸 공은 다시 넣지 않음). 첫 번째로 꺼낸 공이 빨간 공이었다는 조건에서, 두 번째로 꺼낸 공도 빨간 공일 확률을 구하고, 왜 이 값이 처음에 빨간 공을 뽑을 확률 $\dfrac38$과 다른지 설명하시오.
위 "예시"의 주사위 상황에서 $P(A|B)$를 직접 계산하고, 이 값이 $P(B|A)$와 다른 이유를 표본공간이 좁아지는 방식의 차이로 설명하시오.
$P(A) = 0.4$, $P(B|A) = 0.5$일 때 곱셈정리를 이용해 $P(A \cap B)$를 구하시오.
정답 보기
첫 번째가 빨간 공이면 남은 공은 빨간 2개, 파란 5개로 총 7개다. 따라서 두 번째도 빨간 공일 확률은 $\dfrac27$이다. $\dfrac38$은 처음 8개 중에서 뽑을 확률이지만, 조건이 주어지면 표본공간이 "남은 7개"로 좁아지므로 값이 달라진다.
$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \dfrac{3/36}{5/36} = \dfrac35$. $P(B|A)$는 "첫 번째가 짝수인 18가지" 안에서 합이 8인 비율(=$\frac16$)이고, $P(A|B)$는 "합이 8인 5가지" 안에서 첫 번째가 짝수인 비율(=$\frac35$)이라 서로 다른 기준 집합을 나누는 것이므로 값이 다르다.