이다. 여기서 ${}_n\mathrm{C}_r$($n$ 씨 알이라 읽는다)는 $n$번의 시행 중 사건 $A$가 일어나는 $r$번을 어느 자리에 배치할지 정하는 조합의 수다.
직관
동전을 5번 던져서 앞면이 정확히 3번 나올 확률을 구한다고 하자. "앞앞앞뒤뒤"가 나올 확률은 $p^3(1-p)^2$이지만, 앞면이 3번 나오는 방법은 이 순서 말고도 "앞뒤앞앞뒤" 등 여러 가지가 있다. 각배열은 확률이 똑같이 $p^3(1-p)^2$이므로, 전체 확률은 그 배열의 개수만큼 곱해 주어야 한다. 그 배열의 개수가 바로 ${}_5\mathrm{C}_3$이다. 즉 독립시행의 확률 공식은 "한 가지 순서의 확률"과 "그 순서가 될 수 있는 경우의 수"를 곱한 것일 뿐이다.
예시
주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 들어 있다. 공을 하나 꺼내 색을 확인한 뒤 다시 넣고 잘 섞기를 3번 반복할 때, 빨간 공이 정확히 2번 나올 확률을 구해 보자.
공을 다시 넣기 때문에 매번 빨간 공이 나올 확률이 $\dfrac{3}{5}$로 일정하게 유지되어 독립시행이 성립한다.
🌍 실생활 예시
제품 검사에서 한 공정 라인의 불량률이 항상 $2\%$로 일정하다고 알려진 경우, 임의로 뽑은 제품 20개 중 불량품이 정확히 1개일 확률을 독립시행 공식으로 계산할 수 있다. 이는 품질관리에서 표본검사 기준(허용 불량 개수)을 정할 때 실제로 쓰이는 방식이다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 공을 다시 넣지 않고(비복원추출) 여러 번 뽑는 문제에도 독립시행 공식을 그대로 적용한다. → 왜 틀렸는가: 공을 다시 넣지 않으면 이전 결과에 따라 다음 시행에서 사건이 일어날 확률이 달라지므로($p$가 매번 바뀜) 독립시행이 아니다. 이런 경우는 조건부확률을 이용해 각 단계의 확률을 곱해야 한다.
잘못된 생각: $r$번 사건이 일어날 확률을 구할 때 ${}_n\mathrm{C}_r$을 빠뜨리고 $p^r(1-p)^{n-r}$만 계산한다. → 왜 틀렸는가: 이 값은 "특정한 한 순서"로 사건이 일어날 확률일 뿐이며, 사건이 일어날 수 있는 자리의 배열은 여러 가지이므로 그 경우의 수를 곱해야 전체 확률이 된다.
잘못된 생각: "정확히 $r$번"과 "적어도 $r$번"을 같은 식으로 계산한다. → 왜 틀렸는가: "적어도 $r$번"은 $r, r+1, \dots, n$번이 일어나는 확률을 모두 더하거나, 여사건($r-1$번 이하)의 확률을 $1$에서 빼야 한다.
확인 문제
한 개의 주사위를 4번 던질 때, 3의 배수의 눈(3 또는 6)이 정확히 2번 나올 확률을 구하여라.
(직관 확인) 동전을 3번 던져 앞면이 나오는 횟수를 $r$이라 할 때, $r=0,1,2,3$일 확률을 각각 구하고 그 합이 $1$이 됨을 확인하여라. 이때 ${}_3\mathrm{C}_r$이 왜 필요한지 한 문장으로 설명하여라.
주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 있다. (a) 공을 꺼내 색을 확인하고 다시 넣으며 3번 뽑을 때 빨간 공이 2번 나올 확률과, (b) 다시 넣지 않고 3번 뽑을 때는 왜 독립시행의 확률 공식을 그대로 쓸 수 없는지 설명하여라.
$r=0$: $\dfrac18$, $r=1$: $\dfrac38$, $r=2$: $\dfrac38$, $r=3$: $\dfrac18$이고 합은 $\dfrac{1+3+3+1}{8}=1$이다. ${}_3\mathrm{C}_r$은 앞면이 $r$번 나오는 배열(순서)이 여러 가지이기 때문에, 그 개수를 곱해 주어야 모든 경우를 빠짐없이 세기 때문이다.
(a) $p=\dfrac35$로 일정하므로 ${}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac35\right)^2\left(\dfrac25\right)^1=\dfrac{54}{125}$. (b) 공을 다시 넣지 않으면 앞서 어떤 공이 나왔는지에 따라 다음 시행에서 빨간 공이 나올 확률이 $\dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{4}, \dots$처럼 매번 달라지므로 독립시행이 아니며, 각 단계의 조건부확률을 곱해서 구해야 한다.