이 개념은 3차 교육과정에서 도입되었다.
초월함수란 다항식이나 유리식으로 나타낼 수 없는 함수로, 삼각함수·지수함수·로그함수가 대표적이다. 초월함수의 미분은 이 함수들의 도함수를 구하는 것을 말하며, 다음과 같은 공식으로 정리된다.
삼각함수의 도함수 $$(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$
지수함수의 도함수 $$(e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a \;\; (a>0,\ a\neq 1)$$
여기서 $e$(자연상수, 약 2.718)는 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$을 만족하도록 정해진 수이고, $\ln a$(로그 에이, $\log_e a$의 줄임 표기)는 $e$를 밑으로 하는 로그다.
로그함수의 도함수 $$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$
이 공식들은 모두 미분계수의 정의 $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 에 각 함수를 대입하고 극한을 계산해서 얻어진다.
다항함수의 미분은 $x^n$을 하나씩 뜯어보면 규칙(지수를 내려서 곱하기)이 눈에 보인다. 하지만 초월함수는 이런 대수적 조작만으로는 극한값을 구할 수 없어서, 각각 별도의 극한 계산이 필요하다.
핵심 아이디어는 두 가지 특별한 극한이다. $$\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1, \qquad \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$
첫 번째 극한 덕분에 $\sin x$를 미분하면 $\cos x$가 튀어나오고, 두 번째 극한 덕분에 $e^x$를 미분해도 그대로 $e^x$가 나온다. 특히 $e^x$는 "미분해도 자기 자신이 되는 함수"라는 점에서 매우 특별하다. 이는 마치 거울에 자기 모습을 비췄더니 형태가 조금도 바뀌지 않는 것과 같다. 밑이 $e$가 아닌 $a^x$는 이 거울이 정확히 맞지 않아서 $\ln a$라는 보정 계수가 곱해진다.
예시 1: $y = e^x + \sin x$의 도함수는 $y' = e^x + \cos x$.
예시 2: $y = \ln(x^2+1)$을 연쇄법칙으로 미분하면 $$y' = \frac{1}{x^2+1}\cdot(2x) = \frac{2x}{x^2+1}$$
예시 3: $y = 3^x$의 도함수는 $y' = 3^x \ln 3$ (여기서 $\ln 3 \approx 1.0986$).
위 그래프에서 $\sin x$가 최댓값(기울기 0)을 지날 때 $\cos x$가 0이 되고, $\sin x$가 가장 가파르게 증가할 때 $\cos x$가 최댓값 1이 되는 것을 확인할 수 있다 — 도함수가 곧 원함수의 순간 기울기임을 보여준다.
방사성 물질의 붕괴는 $N(t) = N_0 e^{-kt}$(시간 $t$에서 남은 양)로 나타난다. 이 물질이 얼마나 빠르게 줄어드는지(붕괴 속도)를 알려면 $N(t)$를 미분해야 하는데, 지수함수의 미분 공식에 의해 $$N'(t) = N_0 e^{-kt}\cdot(-k) = -kN(t)$$ 즉 "감소 속도는 항상 현재 남은 양에 비례한다"는 결론이 바로 나온다. 이는 방사성 동위원소의 반감기 계산, 약물이 몸속에서 대사되는 속도 추정 등에 그대로 쓰인다.