로 쓴다. $f^{(n)}(x)$는 "에프의 $n$계도함수"라 읽는다. 이계도함수 이상을 통틀어 고계도함수(higher-order derivative)라 부른다.
직관
도함수 $f'(x)$가 "$f(x)$가 얼마나 빠르게 변하는가"를 나타낸다면, 이계도함수 $f''(x)$는 "그 변화의 빠르기 자체가 얼마나 빠르게 변하는가"를 나타낸다. 가장 익숙한 예는 속도와 가속도다. 위치 $s(t)$를 한 번 미분하면 속도 $v(t)=s'(t)$가 되고, 속도를 다시 미분하면 가속도 $a(t)=v'(t)=s''(t)$가 된다. 즉 가속도는 위치의 이계도함수다. 이렇게 "변화율의 변화율"을 반복해서 살피는 것이 고계도함수의 핵심 아이디어다.
3차함수는 미분할 때마다 차수가 하나씩 낮아지므로 삼계도함수에서 상수가 되고, 사계도함수부터는 항등적으로 $0$이 된다.
$f(x)=x^3-3x$의 그래프와 $f''(x)=6x$의 그래프를 함께 보면, $f''(x)$의 부호가 바뀌는 $x=0$ 부근에서 원래 그래프의 휘어지는 방향(오목/볼록)이 바뀌는 것을 관찰할 수 있다.
🌍 실생활 예시
롤러코스터나 자동차 설계에서는 가속도의 변화율, 즉 위치함수의 삼계도함수(저크, jerk)를 함께 고려한다. 가속도가 갑자기 크게 바뀌면 몸이 받는 충격이 급격해져 승차감이 나빠지므로, 실제 설계에서는 삼계도함수까지 조절해서 가속도가 부드럽게 변하도록 만든다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $f''(x)$를 $\{f'(x)\}^2$, 즉 $f'(x)$의 제곱으로 계산한다.
→ 왜 틀렸는지: $f''(x)$는 $f'(x)$를 "다시 미분한" 함수이지 제곱한 것이 아니다. 예를 들어 $f'(x)=3x^2-6x+2$일 때 $f''(x)=6x-6$이지 $(3x^2-6x+2)^2$이 아니다.
잘못된 생각: $f^{(n)}(x)$의 위첨자 $(n)$을 지수로 착각해 $f(x)^n$과 혼동한다.
→ 왜 틀렸는지: 괄호 친 $(n)$은 "$n$번 미분했다"는 뜻이고, 괄호 없는 지수 $n$은 거듭제곱이다. $f^{(2)}(x)=f''(x)$이지 $\{f(x)\}^2$이 아니다.
잘못된 생각: 다항함수는 몇 번을 미분해도 항상 새로운 다항식이 나온다고 생각한다.
→ 왜 틀렸는지: $n$차 다항함수는 $n$번 미분하면 상수, $(n+1)$번째부터는 미분값이 항등적으로 $0$이 된다. 계속 미분한다고 없던 항이 생기지 않는다.
확인 문제
$f(x) = x^4 - 2x^3 + x$ 일 때 $f''(x)$를 구하라.
물체의 위치가 $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ (m, $t$는 초)로 주어질 때, 속도 $v(t)$와 가속도 $a(t)$를 각각 구하고, $t=0$일 때 이 물체가 속력이 빨라지는 중인지 느려지는 중인지 그 이유와 함께 설명하라.
$g(x) = \sin x$ 일 때 $g''(x)$와 $g^{(4)}(x)$를 구하라. (단, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$)
정답 보기
$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1$, $f''(x) = 12x^2 - 12x$
$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $a(t) = v'(t) = 6t - 12$. $t=0$에서 $v(0) = 9 > 0$, $a(0) = -12 < 0$으로 속도와 가속도의 부호가 반대다. 속도와 가속도가 같은 부호이면 속력이 점점 빨라지고, 반대 부호이면 점점 느려지므로 $t=0$에서 물체는 속력이 느려지는 중이다.
$g''(x) = -\sin x$, $g^{(4)}(x) = \sin x$ (미분을 네 번 하면 원래 함수로 돌아온다).