# 초월함수의 미분

분야: 해석
학교급: 고등
교육과정: 3차 교육과정에서 도입
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%B4%88%EC%9B%94%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EB%AF%B8%EB%B6%84

---

<!-- prereq: 미분계수, 미분법, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 -->
> 이 개념은 3차 교육과정에서 도입되었다.

## 정의

**초월함수**란 다항식이나 유리식으로 나타낼 수 없는 함수로, 삼각함수·지수함수·로그함수가 대표적이다. 초월함수의 미분은 이 함수들의 도함수를 구하는 것을 말하며, 다음과 같은 공식으로 정리된다.

**삼각함수의 도함수**
$$(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$

**지수함수의 도함수**
$$(e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a \;\; (a>0,\ a\neq 1)$$

여기서 $e$(자연상수, 약 2.718)는 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$을 만족하도록 정해진 수이고, $\ln a$(로그 에이, $\log_e a$의 줄임 표기)는 $e$를 밑으로 하는 로그다.

**로그함수의 도함수**
$$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$

이 공식들은 모두 미분계수의 정의 $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 에 각 함수를 대입하고 극한을 계산해서 얻어진다.

## 직관

다항함수의 미분은 $x^n$을 하나씩 뜯어보면 규칙(지수를 내려서 곱하기)이 눈에 보인다. 하지만 초월함수는 이런 대수적 조작만으로는 극한값을 구할 수 없어서, 각각 별도의 극한 계산이 필요하다.

핵심 아이디어는 두 가지 특별한 극한이다.
$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1, \qquad \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$

첫 번째 극한 덕분에 $\sin x$를 미분하면 $\cos x$가 튀어나오고, 두 번째 극한 덕분에 $e^x$를 미분해도 그대로 $e^x$가 나온다. 특히 $e^x$는 "미분해도 자기 자신이 되는 함수"라는 점에서 매우 특별하다. 이는 마치 거울에 자기 모습을 비췄더니 형태가 조금도 바뀌지 않는 것과 같다. 밑이 $e$가 아닌 $a^x$는 이 거울이 정확히 맞지 않아서 $\ln a$라는 보정 계수가 곱해진다.

## 성질

- 합성함수의 미분(연쇄법칙)과 결합하면 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$ 형태로 응용된다. 예를 들어 $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$.
- $\sin x$와 $\cos x$는 미분을 네 번 하면 원래 함수로 돌아온다: $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$.
- $e^x$는 유일하게 $f'(x)=f(x)$를 만족하는 (상수배를 제외한) 함수다.

## 예시

**예시 1**: $y = e^x + \sin x$의 도함수는 $y' = e^x + \cos x$.

**예시 2**: $y = \ln(x^2+1)$을 연쇄법칙으로 미분하면
$$y' = \frac{1}{x^2+1}\cdot(2x) = \frac{2x}{x^2+1}$$

**예시 3**: $y = 3^x$의 도함수는 $y' = 3^x \ln 3$ (여기서 $\ln 3 \approx 1.0986$).


그래프: y=sin(x), y=cos(x) (정의역 -6.5~6.5)

위 그래프에서 $\sin x$가 최댓값(기울기 0)을 지날 때 $\cos x$가 0이 되고, $\sin x$가 가장 가파르게 증가할 때 $\cos x$가 최댓값 1이 되는 것을 확인할 수 있다 — 도함수가 곧 원함수의 순간 기울기임을 보여준다.

## 🌍 실생활 예시

방사성 물질의 붕괴는 $N(t) = N_0 e^{-kt}$(시간 $t$에서 남은 양)로 나타난다. 이 물질이 **얼마나 빠르게** 줄어드는지(붕괴 속도)를 알려면 $N(t)$를 미분해야 하는데, 지수함수의 미분 공식에 의해
$$N'(t) = N_0 e^{-kt}\cdot(-k) = -kN(t)$$
즉 "감소 속도는 항상 현재 남은 양에 비례한다"는 결론이 바로 나온다. 이는 방사성 동위원소의 반감기 계산, 약물이 몸속에서 대사되는 속도 추정 등에 그대로 쓰인다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $(\sin x)' = -\cos x$라고 외운다. → 부호를 헷갈린 것이다. 부호가 바뀌는 쪽은 $\cos x$를 미분할 때($(\cos x)'=-\sin x$)이며, $\sin x$를 미분하면 부호가 그대로인 $\cos x$가 된다.
- **잘못된 생각**: $(a^x)'$을 다항함수처럼 $x a^{x-1}$로 계산한다. → 지수함수는 밑이 상수, 지수가 변수이므로 거듭제곱의 미분법(지수를 내려 곱하는 규칙)이 적용되지 않는다. 올바른 공식은 $a^x \ln a$다.
- **잘못된 생각**: $(\log_a x)'$을 $\ln x$의 도함수와 똑같이 $\dfrac{1}{x}$로 쓴다. → 밑이 $e$가 아닌 로그는 $\dfrac{1}{x\ln a}$처럼 $\ln a$로 나누는 보정이 필요하다. $a=e$일 때만 $\ln e = 1$이라 $\dfrac{1}{x}$가 된다.

## 확인 문제

1. $y = x^2 \tan x$의 도함수를 구하시오. (곱의 미분법 이용)
2. $(a^x)' = a^x \ln a$ 공식에서 $a=e$를 대입하면 왜 $(e^x)'=e^x$가 되는지, $\ln e$의 값을 이용해 설명하시오. 그리고 이를 통해 $e$가 지수함수 중에서 어떤 점에서 특별한지 한 문장으로 정리하시오.
3. $y = \ln(\cos x)$의 도함수를 구하시오.

정답 보기:

1. 곱의 미분법 $(fg)'=f'g+fg'$에서 $f=x^2,\ g=\tan x$로 놓으면 $y' = 2x\tan x + x^2 \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}$.
2. $\ln e = 1$이므로 $a=e$를 대입하면 $(e^x)' = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$. 즉 $e$는 지수함수 $a^x$를 미분해도 계수 변화 없이 자기 자신으로 돌아오는 유일한 밑이다.
3. 연쇄법칙으로 $y' = \dfrac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\tan x$.



## 관련 개념

- 미분계수 — 초월함수의 도함수도 결국 미분계수의 극한 정의에서 출발한다.
- 삼각함수, 지수함수, 로그함수 — 미분 대상이 되는 함수들 자체의 정의와 성질.
- 미분법 — 곱의 미분법, 연쇄법칙 등 초월함수 미분에 함께 쓰이는 계산 규칙.
- 접선의 방정식 — 초월함수 그래프 위 한 점에서의 접선을 구할 때 이 미분 공식이 바로 활용된다.
- 고계도함수 — $\sin x$, $\cos x$처럼 여러 번 미분했을 때의 규칙성을 다룬다.

---

관련 개념:
- 도함수 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98)
- 미분계수 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98)
- 삼각함수 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98)
- 지수함수 (/wiki/math/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98)
- 로그함수 (/wiki/math/%EB%A1%9C%EA%B7%B8%ED%95%A8%EC%88%98)
- 미분법 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B2%95)
- 접선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A0%91%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 고계도함수 (/wiki/math/%EA%B3%A0%EA%B3%84%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98)