# 집합

분야: 대수
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A7%91%ED%95%A9

---

## 정의

**집합**(set)은 명확한 기준에 의해 대상이 그 안에 속하는지 아닌지를 판별할 수 있는 것들의 모임이다. 집합을 이루는 각 대상을 **원소**(element)라 하고, $a$가 집합 $A$의 원소일 때 $a \in A$로 나타낸다.

## 직관

"모임"이면 무엇이든 집합이 되는 게 아니라, **소속 여부가 애매하지 않아야** 한다는 점이 핵심이다. "1보다 큰 자연수의 모임"은 집합이지만 "큰 수의 모임"은 집합이 아니다 — 어떤 수가 "크다"의 기준이 없기 때문이다. 수학의 거의 모든 대상(함수, 확률, 도형 등)이 집합의 언어 위에서 정의되므로, 집합은 현대 수학의 공용 문법이라 할 수 있다.

## 🧑‍🏫 쉬운 설명

집합에서 정작 학생들이 자주 실수하는 건 정의 자체보다 **기호와 관계를 뒤섞는 것**이다. 대표적으로 $\in$과 $\subset$의 혼동이 있다. $\in$은 "원소가 집합에 속한다"는 관계이고($3 \in \{1,2,3\}$), $\subset$은 "집합이 다른 집합에 통째로 들어간다"는 관계다($\{3\} \subset \{1,2,3\}$). 하나는 낱개 원소와 집합 사이, 다른 하나는 집합과 집합 사이의 이야기라 다루는 대상이 다르다.

또 하나 낯선 점은 집합이 원소의 **중복과 순서를 따지지 않는다**는 것이다. $\{1,2,2,3\}$은 그냥 $\{1,2,3\}$과 같은 집합이고, $\{1,2,3\}$과 $\{3,2,1\}$도 같은 집합이다. 집합은 "누가 들어 있느냐"만 볼 뿐 몇 번 적었는지나 적은 차례는 신경 쓰지 않기 때문이다. 이 점은 순서를 따지는 순열이나 순서쌍 $(x,y)$와 헷갈리기 쉬우니 구분해 두자.

공집합도 처음엔 어색하다. 원소가 하나도 없는 집합인데, 이것도 어엿한 집합이고 모든 집합의 부분집합으로 친다. "아무것도 안 담긴 상자도 상자"라고 생각하면 받아들이기 쉽다.

## 표기와 기본 개념

- **원소나열법**: $A = \{1, 2, 3\}$
- **조건제시법**: $A = \{x \mid x는\ 3\ 이하의\ 자연수\}$
- **부분집합**: $A$의 모든 원소가 $B$에 속하면 $A \subset B$
- **연산**: 합집합 $A \cup B$, 교집합 $A \cap B$, 차집합 $A - B$, 여집합 $A^c$

## 예시

$A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 3, 4\}$일 때:

$$A \cup B = \{1,2,3,4\}, \quad A \cap B = \{2,3\}, \quad A - B = \{1\}$$

원소의 개수는 다음을 만족한다 (포함–배제의 원리의 가장 단순한 형태):

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

## 관련 개념

- 집합을 판별 기준으로 서술한 문장이 명제다
- 두 집합 사이의 대응 규칙이 함수다
- 경우의 수 계산은 유한집합의 원소 세기다

---

관련 개념:
- 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98)
- 확률 (/wiki/math/%ED%99%95%EB%A5%A0)
- 순열 (/wiki/math/%EC%88%9C%EC%97%B4)
- 명제 (/wiki/math/%EB%AA%85%EC%A0%9C)
- 경우의 수 (/wiki/math/%EA%B2%BD%EC%9A%B0%EC%9D%98_%EC%88%98)