# 제곱근과 무리수 분야: 대수 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98 --- ## 정의 $0$ 이상인 어떤 수 $a$에 대하여, 제곱하여 $a$가 되는 수, 즉 $x^2=a$를 만족시키는 $x$를 $a$의 **제곱근**이라 한다. - $a>0$이면 제곱근은 부호만 다른 두 개가 존재한다: 양의 제곱근 $\sqrt{a}$($\sqrt{\ }$는 근호라 하며, "루트 $a$"라고 읽는다)와 음의 제곱근 $-\sqrt{a}$ - $a=0$이면 제곱근은 $0$ 하나뿐이다 - $a<0$이면 (중학교에서 다루는 실수 범위 안에서는) 제곱근이 존재하지 않는다 **무리수**는 분수로, 즉 두 정수 $m$, $n$($n\neq0$)의 비 $\dfrac{m}{n}$ 꼴로 나타낼 수 없는 수를 말한다. 소수로 쓰면 순환하지 않는 무한소수가 된다. 유리수와 무리수를 합친 수 전체를 실수라고 부른다. ## 직관 정사각형의 넓이가 $2$일 때 한 변의 길이는 얼마일까? $1\times1=1$이고 $2\times2=4$이므로 한 변의 길이는 $1$과 $2$ 사이의 어떤 수인데, 아무리 소수 자리를 늘려도 딱 떨어지는 분수로는 표현되지 않는다. 이 수가 바로 $\sqrt2$다. 즉 제곱근은 "제곱해서 원래 수가 되돌아오는 수를 거꾸로 찾는 것"이고, 그 답 중에는 유리수(분수)로 딱 떨어지지 않는 무리수가 섞여 있다는 사실이 이 단원의 핵심이다. ## 성질 - $(\sqrt a)^2=a$, $(-\sqrt a)^2=a$ ($a\ge0$) - $\sqrt{a^2}=|a|$ ($|a|$는 "절댓값 $a$"라고 읽는다). 근호 안의 식은 제곱이라 항상 $0$ 이상이 되어야 하므로, $a$가 음수라면 부호를 바꿔 양수로 맞춰 준다. - $a,b>0$일 때 $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$, $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ## 예시 - $16$의 제곱근: $x^2=16$을 만족하는 $x$는 $4$와 $-4$ 두 개다. - $\sqrt{16}=4$: 이때는 양의 제곱근 하나만을 뜻한다. - $\sqrt2 = 1.41421356\ldots$는 소수점 아래가 순환하지 않으므로 무리수다. - $\sqrt4=2$는 근호가 붙어 있지만 정수, 즉 유리수다. 근호가 있다고 해서 다 무리수인 것은 아니다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $\sqrt{a^2}=a$이다. **왜 틀렸는지**: $a=-3$이면 $\sqrt{a^2}=\sqrt9=3$이지 $-3$이 아니다. 근호 안에서 나온 값은 항상 $0$ 이상이어야 하므로 정답은 $\sqrt{a^2}=|a|$다. - **잘못된 생각**: "$4$의 제곱근을 구하라"는 문제에 $\sqrt4=2$만 답한다. **왜 틀렸는지**: "$a$의 제곱근"은 $x^2=a$의 해 전체를 뜻하므로 양의 제곱근과 음의 제곱근을 모두 써야 한다. $4$의 제곱근은 $2$와 $-2$ 둘 다이며, $\sqrt4$는 그중 양의 제곱근만 가리키는 표기다. - **잘못된 생각**: 근호가 붙어 있으면 무조건 무리수다. **왜 틀렸는지**: $\sqrt9=3$, $\sqrt{100}=10$처럼 근호 안의 수가 어떤 정수의 제곱이면 근호가 사라지고 유리수가 된다. 근호 안의 수가 제곱수가 아닐 때만 무리수가 된다. ## 확인 문제 1. $49$의 제곱근을 모두 구하시오. 2. 다음 중 무리수를 모두 고르시오: $\sqrt9,\ \sqrt3,\ 0.333\ldots,\ \sqrt2$ 3. $\sqrt{(-7)^2}$의 값을 구하시오. 정답 보기: 1. $x^2=49$이므로 $x=7$ 또는 $x=-7$. 즉 $49$의 제곱근은 $7$과 $-7$. 2. $\sqrt9=3$은 유리수, $0.333\ldots=\dfrac13$도 순환소수이므로 유리수. 무리수는 $\sqrt3$과 $\sqrt2$. 3. $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=|-7|=7$. ## 관련 개념 - 정수와 유리수 — 제곱근과 대비되는 유리수의 뜻을 먼저 알아야 한다 - 유리수와 순환소수 — 순환소수(유리수)와 순환하지 않는 무한소수(무리수)를 구별하는 기초 - 실수 — 유리수와 무리수를 통틀어 이르는 수 체계 - 이차방정식 — 해를 구할 때 제곱근을 직접 이용한다 - 피타고라스 정리 — 빗변의 길이를 구할 때 제곱근이 자연스럽게 등장한다 --- 관련 개념: - 실수 (/wiki/math/%EC%8B%A4%EC%88%98) - 정수와 유리수 (/wiki/math/%EC%A0%95%EC%88%98%EC%99%80_%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98) - 유리수와 순환소수 (/wiki/math/%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%99%80_%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98) - 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 피타고라스 정리 (/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC)