# 이차방정식

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D

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## 정의

이차방정식이란 등식을 정리했을 때 $ax^2+bx+c=0$ 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말한다. 여기서 $x$는 구해야 할 미지수이고, $a$, $b$, $c$는 정해진 수(상수)이며, 특히 $a \neq 0$이어야 한다($a=0$이면 $x^2$항이 사라져 일차방정식이 되기 때문이다). 이 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값을 이차방정식의 근(또는 해)이라 하고, 이차방정식은 일반적으로 근을 최대 2개 갖는다.

## 직관

일차방정식이 "한 걸음짜리" 문제였다면, 이차방정식은 $x$가 두 번 곱해지는(제곱되는) 상황을 다룬다. 예를 들어 가로가 $x$, 세로가 $x+3$인 직사각형의 넓이가 $40$이 되도록 하는 $x$를 찾는 문제는 $x(x+3)=40$, 즉 $x^2+3x-40=0$이라는 이차방정식이 된다. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프(포물선)를 생각하면, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근은 이 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표와 같다. 즉 이차방정식 풀기는 "포물선이 어디서 땅에 닿는지 찾기"와 같은 그림으로 이해할 수 있다.

## 풀이 방법

**1) 인수분해를 이용한 풀이**: 좌변을 $(x-p)(x-q)=0$ 꼴로 인수분해할 수 있으면, 두 수를 곱해 $0$이 되려면 둘 중 하나는 반드시 $0$이어야 하므로 $x=p$ 또는 $x=q$가 근이 된다.

**2) 근의 공식**: 인수분해가 어려운 경우, 모든 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근은 다음 공식으로 구할 수 있다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

여기서 $\pm$(플러스마이너스)는 두 근이 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$와 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$로 나뉜다는 뜻이다. 근호 안의 $b^2-4ac$ 값에 따라 근의 개수(2개, 1개, 0개)가 달라지는데, 이 값을 판별식이라 부른다.

## 예시

**예시 1 (인수분해)**: $x^2-5x+6=0$은 곱이 $6$, 합이 $-5$인 두 수 $-2$, $-3$을 찾으면 $(x-2)(x-3)=0$으로 인수분해되어 근은 $x=2$ 또는 $x=3$이다.

**예시 2 (근의 공식)**: $x^2+2x-1=0$은 $a=1$, $b=2$, $c=-1$이므로

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$$

아래 그래프는 $y=x^2-5x+6$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점이 바로 예시 1의 근 $x=2$, $x=3$임을 보여준다.


그래프: y=x^2-5*x+6 (정의역 -1~6)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $x^2=9$이므로 $x=3$이다. → **왜 틀렸는가**: 제곱해서 $9$가 되는 수는 $3$뿐 아니라 $-3$도 있다($(-3)^2=9$). 올바른 답은 $x=3$ 또는 $x=-3$이며, $x=\pm 3$으로 써야 한다.
- **잘못된 생각**: 근의 공식에서 분자의 $-b\pm\sqrt{b^2-4ac}$만 계산하고 $2a$로 나누는 것을 잊는다. → **왜 틀렸는가**: 근의 공식 전체가 하나의 분수식이므로 분모 $2a$까지 나누어야 정확한 근이 나온다.
- **잘못된 생각**: $x^2+3x=0$을 풀 때 양변을 $x$로 나누어 $x+3=0$, 즉 $x=-3$만 답이라고 한다. → **왜 틀렸는가**: 방정식을 미지수 $x$로 나누면 $x=0$인 경우의 근을 잃어버린다. 대신 $x(x+3)=0$으로 인수분해하면 $x=0$ 또는 $x=-3$, 두 근을 모두 얻는다.

## 확인 문제

1. 이차방정식 $x^2-7x+10=0$을 인수분해를 이용해 풀어라.
2. 이차방정식 $2x^2+3x-1=0$의 근을 근의 공식을 이용해 구하여라.
3. $x^2-4=0$의 근을 모두 구하여라.

정답 보기:

1. 곱이 $10$, 합이 $-7$인 두 수는 $-2$, $-5$이므로 $(x-2)(x-5)=0$, 근은 $x=2$ 또는 $x=5$.
2. $a=2$, $b=3$, $c=-1$을 근의 공식에 대입하면 $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+8}}{4}=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$.
3. $x^2=4$이므로 $x=2$ 또는 $x=-2$ (제곱해서 $4$가 되는 두 수를 모두 찾아야 한다).



## 관련 개념

- 일차방정식 — 이차방정식의 바탕이 되는 더 단순한 방정식
- 인수분해 — 이차방정식을 풀 때 가장 먼저 시도하는 방법
- 이차함수 — 이차방정식의 근은 이차함수 그래프와 $x$축의 교점
- 판별식 — 근의 공식에 등장하는 $b^2-4ac$로 근의 개수를 판단
- 근과 계수의 관계 — 근을 직접 구하지 않고 계수만으로 두 근의 합과 곱을 아는 방법

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관련 개념:
- 일차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98)
- 인수분해 (/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)
- 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D)
- 근과 계수의 관계 (/wiki/math/%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EA%B3%84%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B4%80%EA%B3%84)