🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 소수와 합성수 · 약수와 배수 (초등)
정의
소인수분해란 1보다 큰 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것이다. 이때 곱해진 각각의 소수를 그 수의 소인수라고 한다.
예를 들어 $12 = 2 \times 2 \times 3$이므로, $12$의 소인수분해는 $2 \times 2 \times 3$이고, $12$의 소인수는 $2$와 $3$이다. 보통은 같은 소인수를 거듭제곱으로 묶어서 $12 = 2^2 \times 3$($2$의 제곱 곱하기 $3$이라 읽는다. 여기서 $2^2$의 $2$를 밑, 위에 작게 쓴 $2$를 지수라 한다)와 같이 나타낸다.
직관
합성수는 여러 소수가 '조합'되어 만들어진 수라고 생각할 수 있다. 마치 모든 정수는 소수라는 더 이상 쪼갤 수 없는 "재료"로 만들어진 셈이다. 소인수분해는 이 재료 구성을 알아내는 과정이다. 한 자연수를 소인수분해하는 방법(순서에 상관없이 소수로만 곱해지도록 나눈다면)은 재료의 배합이 오직 하나로 정해진다는 뜻이며, 이를 산술의 기본 정리라고 부른다. 이 성질 덕분에 소인수분해는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 가장 확실한 방법이 된다.
소인수분해 하는 방법
가장 작은 소수부터 차례로 나누어 가는 것이 편리하다. 몫이 더 이상 나누어지지 않는 소수가 될 때까지 반복한다.
주어진 수를 가장 작은 소수 $2$로 나누어지는지 확인한다.
나누어지면 몫을 다시 가장 작은 소수부터 나눈다.
몫이 $1$이 될 때까지 반복한 뒤, 나눈 소수들을 모두 곱한 꼴로 쓰고 같은 소인수는 거듭제곱으로 정리한다.
소인수분해를 알면 약수도 쉽게 찾을 수 있다. $12 = 2^2 \times 3$의 약수는 $2^2$의 약수($1, 2, 4$)와 $3$의 약수($1, 3$)를 각각 골라 곱한 것들이므로 $1, 2, 3, 4, 6, 12$이다.
🌍 실생활 예시
암호학의 한 방식인 RSA 암호는 아주 큰 합성수를 소인수분해하기가 매우 어렵다는 사실을 이용한다. 두 개의 큰 소수를 곱해 하나의 큰 수(공개키)를 만들면, 그 수만 보고 원래 두 소수를 알아내는 데 매우 오랜 시간이 걸리기 때문에 안전한 암호로 쓸 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 나누어떨어지기만 하면 아무 수로나 나누어도 된다. → 왜 틀렸는지: $4$나 $6$처럼 합성수로 나누면 소인수분해가 아니다. 예를 들어 $24 = 4 \times 6$은 맞는 곱셈식이지만 $4$와 $6$은 소수가 아니므로 소인수분해가 끝난 것이 아니다. 계속 나누어 $24 = 2^3 \times 3$까지 가야 한다.
잘못된 생각: $1$도 소인수가 될 수 있다. → 왜 틀렸는지: $1$은 소수도 합성수도 아니므로 소인수가 될 수 없다. 어떤 수를 $1$로 나누는 것은 의미가 없으므로 소인수분해 과정에서 제외한다.
잘못된 생각: $2^2 \times 3$과 $2 \times 2 \times 3$은 다른 소인수분해다. → 왜 틀렸는지: 거듭제곱은 같은 소인수를 편하게 묶어 쓴 표현일 뿐, 실제로는 같은 곱셈식이다. 소인수분해의 결과는 곱하는 순서나 표기법에 상관없이 단 하나로 정해진다.
확인 문제
$72$를 소인수분해하시오.
$2^3 \times 3^2$과 $2^2 \times 3^3$을 각각 계산해서 어떤 자연수인지 구하시오.
$18$의 소인수분해를 이용하여 $18$의 약수를 모두 구해 보고, 왜 소인수분해로 약수를 다 찾을 수 있는지 설명해 보시오.
$18 = 2 \times 3^2$이므로 $2$의 약수($1, 2$)와 $3^2$의 약수($1, 3, 9$)를 각각 골라 곱하면 $1, 2, 3, 6, 9, 18$이 된다. 약수는 소인수들을 몇 개씩 골라 곱한 수이므로, 소인수분해 결과만 알면 어떤 조합으로 곱해도 약수가 되고 그 조합을 빠짐없이 나열하면 모든 약수를 구할 수 있다.