어떤 수를 나누어서 나머지가 0이 되게 하는 수를 약수라고 합니다. 예를 들어 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나누어떨어지므로 이 여섯 개의 수가 모두 12의 약수입니다.
배수는 어떤 수를 1배, 2배, 3배, … 한 수입니다. 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, …처럼 3을 여러 번 더해서 나오는 수들입니다.
약수와 배수는 서로 짝을 이루는 말입니다. $3 \times 4 = 12$ 이므로, 3과 4는 12의 약수이고, 12는 3의 배수이면서 4의 배수입니다.
약수는 "이 수를 똑같이 나눌 수 있는 방법"을 찾는 것과 같습니다. 사탕 12개를 남김없이 똑같이 나누어 줄 수 있는 사람 수를 생각해 보면, 1명, 2명, 3명, 4명, 6명, 12명에게 나눠줄 때 딱 맞게 나눠집니다. 이 숫자들이 바로 12의 약수입니다.
배수는 반대로 "그 수를 계속 더해 나가면서 만나는 수"입니다. 3층씩 있는 계단을 오를 때 밟는 층수(3, 6, 9, 12, …)가 3의 배수인 것과 같습니다.
앞에서 12의 약수를 1부터 12까지 하나씩 나누어 보며 찾았습니다. 그런데 수가 커지면 매번 끝까지 다 나눠 보는 것은 번거롭습니다. 더 빠르게, 빠짐없이 약수를 찾는 방법을 생각해 봅시다.
약수는 곱셈으로도 찾을 수 있습니다. 두 수를 곱해서 12가 되는 짝을 순서대로 찾아보면 다음과 같습니다.
$$12 = 1 \times 12,\quad 12 = 2 \times 6,\quad 12 = 3 \times 4$$
다음 차례는 $12 = 4 \times 3$인데, 이는 앞에서 나온 $3 \times 4$와 순서만 바뀐 것으로 같은 짝입니다. 즉 앞의 수가 뒤의 수보다 커지는 순간, 새로운 짝은 더 이상 나오지 않고 이미 모든 약수 짝을 다 찾은 것입니다.
이렇게 곱해서 그 수가 되는 두 수를 짝지어 찾으면, 1부터 끝까지 전부 나눠 보지 않고도 약수를 빠짐없이 찾을 수 있습니다. 이 방법으로 나온 수들을 모으면 1, 2, 3, 4, 6, 12로, 앞서 나눗셈으로 찾은 12의 약수와 정확히 일치합니다.
12의 약수 찾기: 12를 나누어떨어지게 하는 수를 작은 수부터 차례로 찾아봅니다. $$12 \div 1 = 12,\quad 12 \div 2 = 6,\quad 12 \div 3 = 4,\quad 12 \div 4 = 3,\quad 12 \div 6 = 2,\quad 12 \div 12 = 1$$ 따라서 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.
5의 배수 찾기: 5에 1배, 2배, 3배, …를 해봅니다. $$5 \times 1 = 5,\quad 5 \times 2 = 10,\quad 5 \times 3 = 15,\quad 5 \times 4 = 20,\ \dots$$ 따라서 5의 배수는 5, 10, 15, 20, 25, …로 끝없이 계속됩니다.
학급에서 모둠을 나눌 때 약수를 사용합니다. 학생이 24명인 반에서 모둠원 수를 똑같이 맞추려면 24의 약수인 2명, 3명, 4명, 6명, 8명, 12명 단위로 모둠을 만들 수 있습니다. 예를 들어 4명씩 모둠을 만들면 $24 \div 4 = 6$이므로 정확히 6개 모둠이 만들어져 한 명도 남지 않습니다.
약수와 배수라는 개념은 이미 고대 그리스 수학에서 정리되어 있었습니다. 기원전 300년 무렵에 쓰인 유클리드의 저서 원론(Elements) 7권에는 한 수가 다른 수를 남김없이 나눌 때 이를 '잰다(measure)'고 부르며 다루었는데, 이는 오늘날의 약수 개념과 같습니다. 같은 책에는 두 수의 가장 큰 공통 약수를 찾는 방법도 실려 있으며, 이 방법(유클리드 호제법)은 지금까지도 최대공약수를 구하는 표준적인 방법으로 쓰이고 있습니다. '약수(divisor)'와 '배수(multiple)'라는 오늘날의 용어와 기호는 이후 여러 나라의 수학 교육 과정을 거치며 지금의 모습으로 정착되었습니다.