# 유리수와 순환소수 분야: 대수 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%99%80_%EC%88%9C%ED%99%98%EC%86%8C%EC%88%98 --- ## 정의 **유리수**는 두 정수 $a$, $b$ ($b \neq 0$)를 사용하여 $\dfrac{a}{b}$ 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 모든 유리수는 소수로 나타내면 **유한소수**(소수점 아래 자릿수가 유한한 소수) 또는 **순환소수**가 된다. **순환소수**란 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 끝없이 되풀이되는 무한소수를 말한다. 되풀이되는 부분을 **순환마디**라 하고, 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다. $$\frac{1}{3} = 0.333\cdots = 0.\dot{3}$$ $0.\dot{3}$은 "영 점 삼 순환소수"라고 읽으며, 순환마디는 $3$이다. 순환마디가 두 자리 이상이면 양 끝에 점을 찍는다. 예를 들어 $\dfrac{1}{7} = 0.142857142857\cdots = 0.\dot{1}4285\dot{7}$이다. ## 직관 분수를 나눗셈으로 계산하다 보면 나머지가 유한 번 안에 $0$이 되거나(→ 유한소수), 나머지가 이전에 나왔던 값과 똑같이 되풀이되는 순간이 반드시 온다(→ 순환소수). 나눗셈의 나머지는 나누는 수보다 작은 자연수이므로 그 종류가 유한하고, 언젠가는 반드시 같은 나머지가 다시 나타날 수밖에 없기 때문이다. 즉 순환소수는 "나눗셈이 영원히 끝나지 않지만, 그 안에서 똑같은 패턴이 반복되는" 소수라고 이해하면 된다. ## 성질 — 유한소수와 순환소수의 판별 기약분수(더 이상 약분되지 않는 분수) $\dfrac{a}{b}$에서 분모 $b$를 소인수분해했을 때, - 소인수가 **2 또는 5뿐**이면 → 유한소수 - 소인수 중 **2, 5 이외의 수가 있으면** → 순환소수 가 된다. 판별하기 전에 반드시 **기약분수로 약분**해야 한다는 점이 핵심이다. ## 예시 **1) 유한소수/순환소수 판별** $\dfrac{7}{20}$: $20 = 2^2 \times 5$ → 소인수가 2, 5뿐이므로 유한소수. $\dfrac{7}{20} = \dfrac{7 \times 5}{100} = 0.35$ $\dfrac{5}{12}$: $12 = 2^2 \times 3$ → 소인수 3이 있으므로 순환소수. $\dfrac{5}{12} = 0.41\dot{6}$ **2) 순환소수를 분수로 바꾸기** ($x = 0.\dot{4}\dot{5}$일 때) $$100x = 45.454545\cdots, \quad x = 0.454545\cdots$$ $$100x - x = 45 \;\Rightarrow\; 99x = 45 \;\Rightarrow\; x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$ 순환마디의 자릿수만큼 $10$의 거듭제곱을 곱해 빼면 순환하는 부분이 사라진다는 것이 이 방법의 핵심이다. ## 🌍 실생활 예시 물건 값을 여러 사람이 나눠 낼 때 순환소수가 자주 등장한다. 예를 들어 10,000원짜리 물건을 3명이 똑같이 나눠 내면 1인당 $\dfrac{10000}{3} = 3333.\dot{3}$원이 되어 정확히 나누어떨어지지 않는다. 실제로는 이 순환소수를 그대로 쓸 수 없으므로 3334원씩 걷고 남는 2원을 처리하는 식으로 반올림·절사하여 사용한다. 이렇게 순환소수가 나오는 상황을 미리 알면 "왜 딱 나누어떨어지지 않는가"를 이해하고 합리적으로 반올림 규칙을 정할 수 있다. ## ⚠️ 흔은 실수 - **잘못된 생각**: "무한소수는 다 순환소수다." → **왜 틀렸는가**: 원주율처럼 순환하지 않는 무한소수(무리수)도 있다. 순환소수는 유리수만을 대상으로 하며, 무리수는 소수점 아래에 일정한 패턴 없이 숫자가 계속된다. - **잘못된 생각**: $0.1\dot{6}$을 $0.\dot{1}\dot{6}$으로 표기한다. → **왜 틀렸는가**: $0.1666\cdots$에서 순환마디는 $6$뿐이고 앞의 $1$은 순환하지 않는 부분이다. 점은 실제로 되풀이되는 숫자 위에만 찍어야 한다. - **잘못된 생각**: 분수 $\dfrac{6}{15}$을 약분 없이 분모 $15 = 3 \times 5$만 보고 "3이 있으니 순환소수"라고 판단한다. → **왜 틀렸는가**: $\dfrac{6}{15}$은 기약분수가 아니다. 약분하면 $\dfrac{2}{5}$가 되어 분모의 소인수가 5뿐이므로 실제로는 유한소수($0.4$)이다. ## 확인 문제 1. $\dfrac{9}{16}$과 $\dfrac{7}{15}$을 각각 소수로 나타내고, 유한소수인지 순환소수인지 판별하시오. 2. $x = 0.\dot{7}$이라 하고, $10x - x$를 계산하는 과정을 직접 써서 $x$를 기약분수로 나타내시오. 이 과정에서 왜 $10$을 곱했는지, 왜 빼면 순환마디가 사라지는지 설명해 보시오. 3. $\dfrac{14}{35}$는 약분하지 않고 보면 분모에 소인수 $7$이 있어 보인다. 그런데 이 분수는 유한소수일까, 순환소수일까? 그 이유를 판별 방법에 따라 설명하시오. 정답 보기: 1. $\dfrac{9}{16} = 0.5625$ (분모 $16 = 2^4$이므로 유한소수), $\dfrac{7}{15} = 0.4\dot{6}$ (분모 $15 = 3 \times 5$이고 3이 남아 있으므로 순환소수) 2. $10x = 7.777\cdots$, $x = 0.777\cdots$이므로 $10x - x = 7$, 즉 $9x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{9}$. 순환마디가 한 자리이므로 $10$을 곱하면 소수점 위치가 순환마디 한 칸만큼 이동해서, 빼면 순환하는 부분끼리 정확히 상쇄된다. 3. $\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$로 약분되므로 분모의 소인수는 $5$뿐이다. 따라서 유한소수이다($0.4$). 약분하지 않은 상태의 분모만 보고 판단하면 안 된다. ## 관련 개념 - 정수와 유리수 — 유리수의 정의와 범위를 먼저 이해해야 한다. - 분수 — 순환소수는 결국 분수를 소수로 바꾼 결과이다. - 소인수분해 — 유한소수와 순환소수를 판별할 때 분모의 소인수를 살펴본다. - 약수와 배수 — 기약분수로 약분하는 과정에서 필요하다. - 실수 — 유리수와 무리수를 아울러 실수 체계를 이해하는 데 이어진다. --- 관련 개념: - 소인수분해 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4) - 정수와 유리수 (/wiki/math/%EC%A0%95%EC%88%98%EC%99%80_%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98) - 분수 (/wiki/math/%EB%B6%84%EC%88%98) - 약수와 배수 (/wiki/math/%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EB%B0%B0%EC%88%98) - 실수 (/wiki/math/%EC%8B%A4%EC%88%98)