부등식의 영역

기하 고등 · 교육과정: ~2009 개정 (2015 개정에서 삭제) · v1 · 🤖 LLM 버전

이 개념은 2009 개정 교육과정에서 다루어졌으며, 2015 개정 교육과정에서는 삭제되었다.

정의

좌표평면 위의 점 $(x, y)$에 대한 부등식이 주어졌을 때, 그 부등식을 만족시키는 점 $(x, y)$ 전체의 집합을 부등식의 영역이라 한다.

부등식의 경계가 되는 곡선(또는 직선)을 경계선이라 하며, 부등식이 $\leq$ 또는 $\geq$(등호 포함)이면 경계선을 포함하는 영역이고, $<$ 또는 $>$(등호 미포함)이면 경계선을 포함하지 않는 영역이다. 그림에서는 경계선을 포함하면 실선으로, 포함하지 않으면 점선으로 그려 구분한다.

두 개 이상의 부등식을 동시에 만족시켜야 하는 연립부등식의 영역은 각 부등식이 나타내는 영역의 교집합이다.

직관

직선이나 곡선 하나가 평면 전체를 두 조각으로 나눈다고 생각하면 된다. 예를 들어 직선 $y = x+1$은 평면을 "직선보다 위쪽"과 "직선보다 아래쪽"으로 나누는데, $y > x+1$은 위쪽 조각, $y < x+1$은 아래쪽 조각을 뜻한다. 원의 방정식 $x^2+y^2=r^2$도 마찬가지로 평면을 원의 안쪽과 바깥쪽으로 나눈다.

부등식 하나로는 반평면(半平面)이나 원의 안쪽·바깥쪽 같은 넓은 영역이 나오지만, 여러 부등식을 연립하면 그 교집합만큼 영역이 좁아져서 삼각형, 사각형 등 유한한 도형이 되기도 한다.

성질

• 직선 $y = f(x)$($y$는 $x$의 함수 $f$)에 대해 $y > f(x)$의 영역은 직선보다 위쪽, $y < f(x)$의 영역은 직선보다 아래쪽이다.
• 원 $x^2+y^2 = r^2$에 대해 $x^2+y^2 < r^2$의 영역은 원의 내부, $x^2+y^2 > r^2$의 영역은 원의 외부이다.
• 부등식이 정리된 식이 아닐 때는 경계선 위에 있지 않은 한 점(대표점, 흔히 원점)을 대입하여 부등식이 성립하는지 확인하면 어느 쪽 영역인지 판단할 수 있다.
• 연립부등식의 영역은 각 부등식의 영역을 모두 그린 뒤 겹치는 부분(교집합)을 찾는다.

예시

예시 1. 부등식 $y \geq x+1$이 나타내는 영역은 직선 $y=x+1$ 및 그 위쪽 전체이다. 등호가 있으므로 경계선(직선)도 영역에 포함된다.

예시 2. 연립부등식 $x+y \leq 4,\ x \geq 0,\ y \geq 0$이 나타내는 영역을 구해 보자. 세 부등식의 경계선은 각각 직선 $x+y=4$, $y$축($x=0$), $x$축($y=0$)이다. 원점 $(0,0)$을 대입하면 $0 \leq 4$, $0 \geq 0$, $0 \geq 0$이 모두 성립하므로 원점을 포함하는 쪽이 영역이며, 세 조건을 동시에 만족하는 영역은 세 점 $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형(경계 포함)이다.

예시 3. 부등식 $x^2+y^2 < 9$가 나타내는 영역은 중심이 원점이고 반지름이 $3$인 원의 내부이다(경계 제외, 점선). 원점 $(0,0)$을 대입하면 $0<9$로 성립하므로 원점을 포함하는 쪽, 즉 원 안쪽이 영역이다.

⚠️ 흔한 실수

• 부등호 방향만 보고 위·아래를 단정하는 실수: $x+2y-4>0$처럼 좌변에 $y$가 있는 상태로 "부등호가 $>$니까 위쪽"이라 생각하면 틀리기 쉽다. $y$에 대해 정리하면 $y > \dfrac{4-x}{2}$가 되어 위쪽이 맞지만, 만약 $y$의 계수가 음수라면($-2y-4>0$ 등) 부등호 방향이 반대로 뒤집힌다. 정리하지 않고 판단하지 말고, $y$에 대해 정리하거나 대표점을 대입해서 확인해야 한다.
• 경계선 포함 여부를 반대로 기억하는 실수: $\leq,\geq$는 경계선 포함(실선), $<,>$는 경계선 제외(점선)인데 이를 반대로 외우거나, 연립부등식을 그릴 때 부등식마다 포함 여부가 다르다는 것을 잊고 모든 경계선을 똑같이(전부 실선 또는 전부 점선) 그리는 경우가 많다.
• 원의 안쪽·바깥쪽을 반대로 판단하는 실수: $x^2+y^2 > r^2$을 보고 부등호가 크다는 이유만으로 "원 안쪽"이라 착각하는 경우가 있다. 원점을 대입해 $0$과 $r^2$을 비교하면 $0<r^2$이므로 원점은 항상 원의 내부에 있고, $x^2+y^2<r^2$ 쪽이 원점을 포함하는 내부, $x^2+y^2>r^2$ 쪽이 외부임을 대입으로 확인해야 한다.

확인 문제

1. 부등식 $2x - y + 1 \leq 0$이 나타내는 영역은 직선 $y = 2x+1$의 위쪽인가, 아래쪽인가? 경계선은 포함되는가?
2. 연립부등식 $x^2+y^2 \leq 4,\ y \geq 0$이 나타내는 영역의 모양을 말로 설명하라.
3. 원점 $(0,0)$이 부등식 $x - y - 3 > 0$이 나타내는 영역에 포함되는지 판단하라.

관련 개념

• 일차부등식
• 이차부등식
• 직선의 방정식
• 원의 방정식
• 평면좌표