일차부등식(一次不等式)은 부등호($>$, $<$, $\geq$, $\leq$)의 양쪽을 이항하여 정리했을 때, 한쪽이 0이고 다른 한쪽이 문자에 대한 일차식이 되는 부등식을 말한다. 즉
$$ax+b>0,\quad ax+b<0,\quad ax+b\geq 0,\quad ax+b\leq 0$$
($a$, $b$는 상수, $a\neq 0$) 중 하나의 꼴로 나타낼 수 있는 부등식이다. 여기서 $\geq$는 "크거나 같다" 또는 "이상"으로, $\leq$는 "작거나 같다" 또는 "이하"로 읽는다.
일차부등식을 푼다는 것은 그 부등식을 참이 되게 하는 $x$의 값의 범위를 구하는 것이다. 일차방정식의 해가 하나(또는 몇 개)의 수인 것과 달리, 일차부등식의 해는 대부분 무수히 많은 수로 이루어진 범위로 나온다.
저울을 떠올려 보자. 양팔저울에서 왼쪽 접시가 더 무거운 상태(부등호로 비교되는 상태)를 유지하려면, 양쪽에 같은 무게를 더하거나 빼도 여전히 왼쪽이 더 무겁다. 그런데 만약 양쪽 무게를 "거꾸로" 바꿔치기(음수를 곱하는 것과 비슷한 조작)하면 어느 쪽이 더 무거운지도 뒤바뀐다. 일차부등식을 풀 때 부등식의 성질을 지켜야 하는 이유가 바로 여기에 있다: 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것은 부등호 방향을 바꾸지 않지만, 음수를 곱하거나 음수로 나누는 것은 부등호 방향을 뒤집는다.
$a<b$일 때
풀이 순서는 일차방정식과 비슷하다: 괄호를 풀고 → 문자항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항하고 → 양변을 정리하여 $ax>b$($a\neq0$) 꼴로 만든 뒤 → 양변을 $a$로 나누어 $x$의 범위를 구한다.
예제 1. $2x-3>5$를 풀어라.
$$2x-3>5 \;\Rightarrow\; 2x>8 \;\Rightarrow\; x>4$$
양변에 $3$을 더하고, 양변을 양수 $2$로 나누었으므로 부등호 방향은 그대로 유지된다.
그래프에서 직선 $y=2x-3$이 직선 $y=5$보다 위쪽에 있는 $x$의 범위가 바로 해 $x>4$이다.
예제 2. $-3x+2\leq 11$을 풀어라.
$$-3x+2\leq 11 \;\Rightarrow\; -3x\leq 9 \;\Rightarrow\; x\geq -3$$
양변을 음수 $-3$으로 나누었으므로 부등호 방향이 $\leq$에서 $\geq$로 바뀐다.
잘못된 생각: $-2x>6$의 양변을 $-2$로 나눌 때 그냥 $x>-3$이라고 쓴다. 왜 틀렸는지: 음수로 나눌 때는 부등호 방향이 반드시 뒤집혀야 한다. 올바른 답은 $x<-3$이다. 예컨대 $x=-4$를 원래 식에 넣으면 $-2\times(-4)=8>6$이 성립하지만, $x>-3$의 범위에는 $-4$가 포함되지 않으므로 모순임을 확인할 수 있다.
잘못된 생각: $3(x-2)<x+4$를 풀 때 괄호를 풀지 않고 $3x-2<x+4$로 잘못 전개한다. 왜 틀렸는지: 분배법칙을 빠뜨려 $3\times(-2)=-6$이 아니라 $-2$로 계산한 것이다. 올바르게 전개하면 $3x-6<x+4$이고, 이항하면 $2x<10$, 즉 $x<5$가 된다.
잘못된 생각: 부등식의 해를 수직선에 나타낼 때 $x>4$와 $x\geq4$를 구분하지 않고 똑같이 표시한다. 왜 틀렸는지: $x>4$는 $4$를 포함하지 않으므로 수직선에서 $4$ 위치를 빈 원(○)으로, $x\geq4$는 $4$를 포함하므로 채운 원(●)으로 표시해야 한다. 등호 포함 여부를 놓치면 경계값이 해인지 아닌지 틀리게 된다.