# 부등식

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D

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## 정의

부등식(不等式)은 두 수나 두 식의 대소 관계를 부등호 $>, <, \ge, \le$를 사용하여 나타낸 식이다. 예를 들어 $x - 3 > 5$는 "$x-3$은 $5$보다 크다"는 뜻의 부등식이다.

- $a > b$: $a$는 $b$보다 크다
- $a \ge b$: $a$는 $b$보다 크거나 같다 (등호를 포함한다)
- $a < b$, $a \le b$는 각각 반대 방향의 관계

부등식에 포함된 미지수에 특정한 값을 대입했을 때 부등식이 참이 되게 하는 값을 그 부등식의 해라 하고, 해 전체의 집합을 해집합이라 한다. 부등식을 만족하는 모든 해를 구하는 과정을 부등식을 푼다고 한다.

## 직관

방정식이 저울의 양쪽이 정확히 균형을 이루는 상황이라면, 부등식은 저울의 한쪽이 다른 쪽보다 무겁게 기울어 있는 상황이다. 방정식의 해는 보통 하나(또는 몇 개)의 점으로 정해지지만, 부등식의 해는 대개 수직선 위의 구간, 즉 무수히 많은 값의 모임이 된다는 점이 가장 큰 차이다. 이 때문에 부등식을 다룰 때는 "등호가 있는 상태를 유지하며 변형하는 것"뿐 아니라 "부등호의 방향이 언제 바뀌는가"를 정확히 통제하는 것이 핵심 기술이 된다.

## 성질

$a, b, c$가 실수일 때 다음이 성립한다.

1. $a > b$이면 $a + c > b + c$, $a - c > b - c$ (양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로다)
2. $a > b$이고 $c > 0$이면 $ac > bc$, $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ (양수를 곱하거나 나누어도 방향 유지)
3. $a > b$이고 $c < 0$이면 $ac < bc$, $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ (음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀐다)
4. $a > b, b > c$이면 $a > c$ (추이율)

## 예시

**예시 1.** $2x + 1 > 5$를 풀면, 양변에서 $1$을 빼서 $2x > 4$, 양변을 양수 $2$로 나누어 $x > 2$. 해집합은 $\{x \mid x > 2\}$이다.

**예시 2.** $-3x + 2 < 11$을 풀면, $-3x < 9$이고 여기서 음수 $-3$으로 양변을 나누므로 부등호 방향이 바뀌어 $x > -3$이다.


그래프: y=2*x+1, y=5 (정의역 -5~5)

위 그래프에서 직선 $y = 2x+1$이 수평선 $y=5$보다 위쪽에 있는 $x$의 범위(즉 $x>2$)가 예시 1의 해집합에 대응한다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 부등식 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때도 부등호 방향을 그대로 둔다. → **왜 틀렸는지**: $-2x > 6$의 양변을 $-2$로 나눌 때 $x > -3$이라 쓰면 틀린다. 음수로 나누면 크기 관계가 뒤집히므로 올바른 해는 $x < -3$이다. 실제로 $x=-4$를 넣으면 $-2\times(-4)=8>6$으로 참이지만, $x=-2$를 넣으면 $-2\times(-2)=4<6$으로 거짓임을 확인할 수 있다.
- **잘못된 생각**: $a < b$이면 항상 $a^2 < b^2$이다. → **왜 틀렸는지**: 부등식의 성질은 곱하는 수가 양수일 때만 방향을 보장한다. $a=-3,\ b=2$이면 $-3<2$이지만 $a^2=9 > 4=b^2$이므로 성립하지 않는다. 제곱은 "양수를 곱하는 것"과 다르며, 부호가 섞이면 크기 순서가 뒤바뀔 수 있다.
- **잘못된 생각**: 부등식 $x^2 > x$의 양변을 $x$로 나누어 $x > 1$이라고 정리한다. → **왜 틀렸는지**: $x$의 부호를 모르는 채로 나누면 $x<0$일 때 부등호가 뒤집혀야 하는데 이를 놓친다. 실제로 $x=-1$은 $x^2=1>-1=x$를 만족하는 해이지만 $x>1$에는 포함되지 않는다. 미지수로 양변을 나누기 전에는 반드시 부호를 나누어 경우를 살피거나, 이항하여 $x(x-1)>0$ 형태로 바꿔 풀어야 한다.

## 확인 문제

1. 부등식 $-4x + 3 \le 11$의 해를 구하시오.
2. $a, b$가 실수이고 $a > b$일 때, 다음 중 항상 참인 것을 고르시오: (가) $a - 5 > b - 5$ (나) $-2a > -2b$ (다) $a^2 > b^2$
3. 부등식 $3(x-1) > x + 5$를 푸시오.

정답 보기:

1. $-4x \le 8$, 양변을 음수 $-4$로 나누므로 방향이 바뀌어 $x \ge -2$.
2. (가). (나)는 음수 $-2$를 곱했으므로 방향이 바뀌어 $-2a < -2b$가 참이고, (다)는 $a,b$의 부호에 따라 성립하지 않을 수 있다(예: $a=1, b=-2$).
3. $3x - 3 > x + 5 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$.



## 관련 개념

- 문자와 식 — 부등식을 세우고 정리하는 데 필요한 기초 표현
- 실수 — 부등식에서 다루는 대소 관계는 실수의 순서 구조를 전제로 한다
- 일차방정식 — 등식을 다루는 유사한 절차와 비교하며 이해하면 좋다
- 이차부등식 — 부등식의 성질을 이차식에 적용한 후속 개념
- 부등식의 영역 — 두 문자를 포함한 부등식을 좌표평면 위의 영역으로 확장한 개념
- 절대부등식, 산술-기하 평균 부등식 — 항상 성립하는 특별한 부등식들

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관련 개념:
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 실수 (/wiki/math/%EC%8B%A4%EC%88%98)
- 일차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 이차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)
- 부등식의 영역 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EC%98%81%EC%97%AD)
- 절대부등식 (/wiki/math/%EC%A0%88%EB%8C%80%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)
- 산술-기하 평균 부등식 (/wiki/math/%EC%82%B0%EC%88%A0-%EA%B8%B0%ED%95%98_%ED%8F%89%EA%B7%A0_%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)