# 로그함수

분야: 해석
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%A1%9C%EA%B7%B8%ED%95%A8%EC%88%98

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## 정의

**로그함수**(logarithmic function)는 밑을 $a$ ($a>0$, $a \neq 1$)로 하는 지수함수 $y=a^x$의 역함수로, 다음과 같이 정의된다.

$$y = \log_a x \quad (a>0,\ a\neq 1,\ x>0)$$

여기서 $\log_a x$는 "로그 밑 $a$ $x$" 또는 "$a$를 밑으로 하는 $x$의 로그"라 읽으며, $a^y = x$를 만족시키는 $y$의 값을 뜻한다. 이때 $x$를 **진수**라 하며, 로그함수가 정의되려면 반드시 $x>0$이어야 한다.

## 직관

지수함수 $y=a^x$는 "밑을 몇 번 곱했을 때 얼마가 되는가"를 계산하는 함수다. 로그함수는 거꾸로 "얼마가 되려면 밑을 몇 번 곱해야 하는가"를 계산하는 함수라고 생각하면 된다. 예를 들어 $2^3=8$이라는 사실을 뒤집으면 $\log_2 8 = 3$이 된다. 즉 로그함수의 그래프는 지수함수 $y=a^x$의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 모양이 된다.

## 성질

- **정의역**: $x>0$ (모든 양의 실수), **치역**: 실수 전체
- $a>1$일 때: $x$가 커질수록 $y$도 커지는 증가함수
- $0<a<1$일 때: $x$가 커질수록 $y$는 작아지는 감소함수
- 그래프는 항상 점 $(1,0)$을 지나며, $y$축($x=0$)을 점근선으로 갖는다
- $y=a^x$의 그래프와 직선 $y=x$에 대해 대칭

## 예시

$\log_2 8$의 값을 구해보자. $2^3=8$이므로 $\log_2 8=3$이다.

$\log_{\frac{1}{2}} 4$의 값도 구해보자. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4$이므로 $\log_{\frac{1}{2}} 4=-2$이다. 밑이 1보다 작으므로 이 함수는 감소함수이고, 진수가 커질수록 함숫값은 작아진다.

밑이 2인 로그함수 $y=\log_2 x$의 그래프는 다음과 같다 (자연로그 비율로 표현, $\log_2 x=\dfrac{\ln x}{\ln 2}$).


그래프: y=log(x)/log(2) (정의역 0.1~8)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 로그함수도 다항함수처럼 정의역이 실수 전체라고 생각한다.
  **왜 틀렸는지**: 진수조건 $x>0$을 만족해야 로그값이 정의된다. $\log_a x$에서 $x\le 0$이면 애초에 $a^y=x$를 만족시키는 실수 $y$가 존재하지 않는다. 따라서 $\log_2(x-3)$같은 식은 $x>3$일 때만 정의된다.

- **잘못된 생각**: $\log_a(x_1+x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2$처럼 로그를 덧셈에 분배할 수 있다고 생각한다.
  **왜 틀렸는지**: 로그의 덧셈 법칙은 $\log_a(x_1 x_2)=\log_a x_1+\log_a x_2$, 즉 **곱셈**에 대해서만 성립한다. 진수의 덧셈은 로그의 합으로 분해되지 않는다.

- **잘못된 생각**: $0<a<1$일 때도 $\log_a x_1 > \log_a x_2 \Rightarrow x_1 > x_2$가 성립한다고 착각하여 부등식 방향을 그대로 둔다.
  **왜 틀렸는지**: 밑이 $0<a<1$이면 로그함수는 감소함수이므로, 진수의 대소 관계와 함숫값의 대소 관계가 반대로 뒤집힌다. $\log_a x_1 > \log_a x_2$이면 오히려 $x_1 < x_2$가 되어야 한다.

## 확인 문제

1. $\log_3 81$의 값을 구하시오.
2. 함수 $y=\log_{\frac{1}{3}} x$는 증가함수인지 감소함수인지 말하고, 그 이유를 설명하시오.
3. 함수 $y=\log_2(x-1)$의 정의역을 구하시오.

정답 보기:

1. $3^4=81$이므로 $\log_3 81=4$.
2. 감소함수. 밑이 $\frac{1}{3}$로 $0<a<1$이므로 진수가 커질수록 함숫값은 작아진다.
3. 진수조건 $x-1>0$을 풀면 $x>1$, 즉 정의역은 $\{x\mid x>1\}$.



## 관련 개념

- 로그 — 로그함수를 이해하기 위한 선수 개념
- 지수함수 — 로그함수는 지수함수의 역함수
- 역함수 — 두 함수가 서로 역함수 관계임을 이해하는 데 필요
- 함수 — 함수 전반의 기초 개념
- 함수의 극한 — 로그함수의 점근선 근처 극한을 다룰 때 사용

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관련 개념:
- 역함수 (/wiki/math/%EC%97%AD%ED%95%A8%EC%88%98)
- 로그 (/wiki/math/%EB%A1%9C%EA%B7%B8)
- 지수함수 (/wiki/math/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98)
- 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98)
- 함수의 극한 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C)