# 일차방정식

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D

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## 정의

일차방정식(一次方程式)은 방정식에서 문자(미지수, 보통 $x$로 나타내며 "엑스"라고 읽는다)가 포함된 식을 정리했을 때, 그 차수(문자가 곱해진 횟수)가 1인 방정식을 말한다. 일반적인 꼴은 다음과 같다.

$$ax + b = 0 \quad (a \neq 0)$$

여기서 $a$, $b$는 상수(정해진 수)이고, $a \neq 0$이라는 조건이 꼭 필요하다. $a=0$이면 $x$가 사라져서 더 이상 "일차"가 아니기 때문이다. 이 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값을 **해** 또는 **근**이라 하고, 해를 구하는 과정을 "방정식을 푼다"고 한다.

## 직관

방정식은 저울과 같다. 등호($=$, "등호" 또는 "이퀄"이라 읽는다)를 기준으로 양쪽이 평형을 이루고 있다고 생각하면 된다. 저울 양쪽에서 똑같은 것을 더하거나 빼거나 곱해도 저울은 계속 수평을 유지한다. 일차방정식을 푼다는 것은, 이 저울의 균형을 유지하면서 한쪽에는 $x$만, 다른 쪽에는 숫자만 남을 때까지 양변을 정리하는 과정이다.

## 일차방정식을 푸는 방법

1. 괄호가 있으면 분배법칙으로 풀어 정리한다.
2. 문자항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 **이항**한다. 이항이란 등식의 성질을 이용해 항을 등호 반대쪽으로 옮기면서 부호를 바꾸는 것이다.
3. 양변을 정리해 $ax = c$ 꼴로 만든다.
4. 양변을 $a$로 나누어 $x = \dfrac{c}{a}$를 얻는다.

## 예시

**예시 1**: $2x - 4 = 0$을 풀면, 이항하여 $2x = 4$, 양변을 2로 나누면 $x = 2$.

**예시 2**: $3(x-1) = x + 5$
- 좌변을 분배법칙으로 풀면 $3x - 3 = x + 5$
- 문자항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항하면 $3x - x = 5 + 3$
- 정리하면 $2x = 8$, 따라서 $x = 4$

일차방정식 $ax+b=0$의 해는 일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표와 같다. 예시 1의 경우 $y=2x-4$의 그래프가 $x$축을 지나는 점이 바로 해 $x=2$이다.


그래프: y=2*x-4 (정의역 -5~5)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 이항할 때 부호를 그대로 옮긴다. 예를 들어 $x+3=7$에서 $x=7+3$으로 계산해 $x=10$이라 답한다.
  **왜 틀렸는지**: 이항은 양변에서 같은 수를 빼는 과정을 줄여 쓴 것이다. 양변에서 3을 빼야 하므로 $x=7-3=4$가 맞다. 등호를 넘어갈 때는 반드시 부호가 바뀐다.

- **잘못된 생각**: 괄호를 풀 때 앞의 수를 첫째 항에만 곱한다. 예를 들어 $2(x-3)$을 $2x-3$으로 계산한다.
  **왜 틀렸는지**: 분배법칙에 따라 괄호 안의 모든 항에 곱해야 하므로 $2(x-3)=2x-6$이 맞다.

- **잘못된 생각**: 분수가 포함된 방정식 $\dfrac{x}{2}+1=3$에서 양변에 2를 곱하면서 $1$에는 곱하지 않고 $\dfrac{x}{2}$와 $3$에만 곱한다.
  **왜 틀렸는지**: 등식의 성질은 "양변의 모든 항"에 같은 수를 곱해야 성립한다. 한 항이라도 빠뜨리면 저울의 균형(등호)이 깨져 잘못된 식이 된다. 올바르게는 $x+2=6$이 되어야 한다.

## 확인 문제

1. 방정식 $5x - 7 = 3x + 5$를 풀어라.
2. 방정식 $2(x+3) = 4x - 2$를 풀어라.
3. 방정식 $\dfrac{x}{3} - 1 = 2$를 풀어라.

정답 보기:

1. 문자항을 좌변, 상수항을 우변으로 이항하면 $5x-3x=5+7$, 즉 $2x=12$이므로 $x=6$.
2. 좌변을 분배법칙으로 풀면 $2x+6=4x-2$, 이항하면 $6+2=4x-2x$, 즉 $8=2x$이므로 $x=4$.
3. 양변에 3을 곱하면 $x-3=6$, 이항하면 $x=9$.



## 관련 개념

- 문자와 식 — 문자를 사용해 식을 세우는 기초 개념
- 일차식의 계산 — 방정식을 정리할 때 필요한 식 계산
- 방정식 — 일차방정식이 속하는 더 넓은 개념
- 일차부등식 — 등호 대신 부등호를 사용하는 유사한 개념
- 연립일차방정식 — 두 개 이상의 일차방정식을 함께 푸는 개념
- 일차함수 — 일차방정식의 해를 그래프로 이해하는 개념

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관련 개념:
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 일차식의 계산 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 방정식 (/wiki/math/%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 일차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)
- 연립일차방정식 (/wiki/math/%EC%97%B0%EB%A6%BD%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 일차함수 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98)